Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x to 0 2^x-5^xsen(2 x)-sen x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto02^x-5^xsen(2x)-sen(x)
O conteúdo aqui é limites notáveis: em particular
  1. limxto0a^x-1x=ln(a),
  2. limxto0sen(x)x=1.

Passo 2

Primeiro notamos que, em x=0, o numerador e o denominador valem zero, pois
2^0-5^0=1-1=0, sen(0)-sen(0)=0-0=0,
logo a forma é 0/0 e podemos usar expansões de primeira ordem.

Passo 3

Reescrevemos a fração de modo a evidenciar os limites notáveis:
2^x-5^xsen(2x)-sen(x) =l(2^x-1r)-l(5^x-1r)sen(2x)-sen(x) =2^x-1x-5^x-1xsen(2x)x-sen(x)x

Passo 4

Agora aplicamos os limites de cada parte:
limxto02^x-1x=ln(2), limxto05^x-1x=ln(5),
limxto0sen(2x)x =2limxto0sen(2x)2x=2cdot1=2, limxto0sen(x)x=1
Portanto o limite fica
ln(2)-ln(5)2-1=ln(2)-ln(5)

Resposta

ln(2)-ln(5)l(o que também pode ser escrito como ln!tfrac25r) é

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