Determine a derivada:
f(x)=x^2 e^arctan (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^2e^arctan(2x)
Para resolver, vamos usar duas regras de derivação: a regra do produto (para x^2cdot e^arctan(2x)) e a regra da cadeia (para a parte e^arctan(2x) e para arctan(2x)).

Passo 2

Aplicando a regra do produto, se f(x)=u(x),v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui temos u(x)=x^2 e v(x)=e^arctan(2x). Logo
u'(x)=(x^2)'=2x
e
v'(x)=l(e^arctan(2x)r)'

Passo 3

Para derivar v(x)=e^arctan(2x), usamos a regra da cadeia: se v(x)=e^g(x) então v'(x)=g'(x),e^g(x). Aqui g(x)=arctan(2x). Precisamos de g'(x). Novamente pela cadeia,
ddxl(arctan(2x)r) =11+(2x)^2,ddx(2x) =11+4x^2cdot 2 =21+4x^2
Portanto
v'(x) =21+4x^2,e^arctan(2x)

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x), obtemos
f'(x) =2x;e^arctan(2x) +x^2;21+4x^2;e^arctan(2x)
Fatorando e^arctan(2x),
f'(x) =e^arctan(2x)l(2x+2x^21+4x^2r)

Resposta

f'(x) =e^arctan(2x)l(2x+2x^21+4x^2r)

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