Considere a função
.
Sabendo que
e
, determine para f :
o domínio, interseção com os eixos coordenados, as assintotas do gráfico, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os extremos relativos, a concavidade do gráfico e seus pontos de inflexão - se existirem.
Utilizando esses itens, esboce o gráfico de f.
o domínio, interseção com os eixos coordenados, as assintotas do gráfico, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os extremos relativos, a concavidade do gráfico e seus pontos de inflexão - se existirem.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
com domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos relativos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, um esboço do gráfico. Já temos
Passo 2
Analisando o denominador de
, vemos que
em
. Portanto
Passo 3
Interceptos com os eixos:
– Eixo :
se e somente se
, logo
.
– Eixo : basta
, então
.
Intercepto único em .
– Eixo
– Eixo
Intercepto único em
Passo 4
Assíntotas verticais e horizontais:
– Vertical em , pois
quando
.
– Graus de numerador e denominador são iguais, então há assíntota horizontal em
– Vertical em
– Graus de numerador e denominador são iguais, então há assíntota horizontal em
De fato
.
Passo 5
Monotonicidade e extremos:
Como
para todo
e
, temos
em cada ramo do domínio, com zero apenas em
. Logo
é estritamente decrescente em
e em
. Em
a derivada anula mas não muda de sinal, portanto não há extremo relativo.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão:
Zera em
e em
. Estudando o sinal em cada intervalo:
–
:
,
(côncavo para baixo).
– :
,
(côncavo para cima).
– :
,
(côncavo para baixo).
– :
,
(côncavo para cima).
–
–
–
Como
muda de sinal em
e em
, esses são pontos de inflexão. Os pontos no gráfico são
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico:
- Há duas partes da curva, separadas pela assíntota vertical
. - Em
a curva vem de (quando ), decresce com primeira inflexão em , depois muda para côncavo para baixo, cruza a origem em (segunda inflexão), segue decrescendo até quando . - Em
parte de em , decresce sempre côncava para cima e se aproxima de quando .
Resposta
Domínio:
Pontos de inflexão:
e
Esboço: conforme a descrição do Passo 7.
Esboço: conforme a descrição do Passo 7.