Considere a função f(x)=x^3(x-1)^3.
Sabendo que f^prime(x)=-3 x^2(x-1)^4 e f^prime prime(x)=6 x(x+1)(x-1)^5, determine para f :
o domínio, interseção com os eixos coordenados, as assintotas do gráfico, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os extremos relativos, a concavidade do gráfico e seus pontos de inflexão - se existirem.
Utilizando esses itens, esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=x^3(x-1)^3,
com domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos relativos, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, um esboço do gráfico. Já temos
f'(x)=-3x^2(x-1)^4, f''(x)=6x(x+1)(x-1)^5

Passo 2

Analisando o denominador de f(x), vemos que (x-1)^3=0 em x=1. Portanto
Domínio: (-infty,1)cup(1,infty) í

Passo 3

Interceptos com os eixos:
– Eixo x: f(x)=0 se e somente se x^3=0, logo x=0.
– Eixo y: basta x=0, então y=f(0)=0.
Intercepto único em (0,0).

Passo 4

Assíntotas verticais e horizontais:
– Vertical em x=1, pois ftopminfty quando xto1^pm.
– Graus de numerador e denominador são iguais, então há assíntota horizontal em
y=coeficiente de x^3coeficiente de x^3=1
De fato limxtopminftyf(x)=1.

Passo 5

Monotonicidade e extremos:
f'(x)=-3x^2(x-1)^4
Como (x-1)^4>0 para todo xneq1 e -3x^2<=0, temos f'(x)<=0 em cada ramo do domínio, com zero apenas em x=0. Logo f é estritamente decrescente em (-infty,1) e em (1,infty). Em x=0 a derivada anula mas não muda de sinal, portanto não há extremo relativo.

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão:
f''(x)=6x(x+1)(x-1)^5
Zera em x=-1 e em x=0. Estudando o sinal em cada intervalo:
x<-1: x(x+1)>0, (x-1)^5<0 implies f''<0 (côncavo para baixo).
-1<x<0: x(x+1)<0, (x-1)^5<0 implies f''>0 (côncavo para cima).
0<x<1: x(x+1)>0, (x-1)^5<0 implies f''<0 (côncavo para baixo).
x>1: x(x+1)>0, (x-1)^5>0 implies f''>0 (côncavo para cima).
Como f'' muda de sinal em x=-1 e em x=0, esses são pontos de inflexão. Os pontos no gráfico são
(-1,;f(-1)=tfrac(-1)^3(-2)^3=tfrac18) e (0,0)

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Há duas partes da curva, separadas pela assíntota vertical x=1.
  • Em (-infty,1) a curva vem de yapprox1 (quando xto-infty), decresce com primeira inflexão em (-1,1/8), depois muda para côncavo para baixo, cruza a origem em (0,0) (segunda inflexão), segue decrescendo até yto-infty quando xto1^-.
  • Em (1,infty) parte de yto+infty em xto1^+, decresce sempre côncava para cima e se aproxima de y=1 quando xto+infty.

Resposta

Domínio:
Pontos de inflexão: e
Esboço: conforme a descrição do Passo 7.

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