Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável tende para infinito:
. - A expressão é
multiplicado por (tg = tangente).
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Uma técnica padrão para limites com
é fazer a mudança de variável
. Vou explicar com calma como isso ajuda.
- Se
, então . - Quando
, temos (aproximação de zero pela direita, mas o limite de interesse de é o mesmo vindo de ambos os lados).
Portanto podemos reescrever o limite em termos de
que tende a zero.
Passo 3
Faço a substituição na expressão:
Assim
Reduzimos o problema a calcular
.
Passo 4
Agora uso um limite notável e algumas propriedades básicas de trigonometria:
- Lembrete notável:
Uma forma rápida de justificar isso é pelo Teorema do Confronto (squeeze): para vale ; como , segue o limite pedido é . - Relação trigonométrica:
.
Usando isso, escrevo
Agora avalio o limite do produto: pela propriedade de limites,
Portanto
Passo 5
Concluímos que
Intuição rápida: para ângulos pequenos
, então
. Vai dar certo na prova usar a mudança
e o limite notável
.