Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x \operatorname{tg}\left(\frac{1}{x}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left[x\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right)\right].
Informações dadas:
  • A variável tende para infinito: x\to\infty.
  • A expressão é x multiplicado por \operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) (tg = tangente).
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Uma técnica padrão para limites com 1/x é fazer a mudança de variável \;u=\dfrac{1}{x}\;. Vou explicar com calma como isso ajuda.
  • Se u=\dfrac{1}{x}, então \;x=\dfrac{1}{u}.
  • Quando x\to\infty, temos u=\dfrac{1}{x}\to 0^+ (aproximação de zero pela direita, mas o limite de interesse de \tan u / u é o mesmo vindo de ambos os lados).
Portanto podemos reescrever o limite em termos de u que tende a zero.

Passo 3

Faço a substituição na expressão:
x\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{u}\,\operatorname{tg}(u) = \frac{\operatorname{tg}(u)}{u}.
Assim
\lim_{x\to\infty} x\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{u\to 0} \frac{\operatorname{tg}(u)}{u}.
Reduzimos o problema a calcular \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{tg}(u)}{u}.

Passo 4

Agora uso um limite notável e algumas propriedades básicas de trigonometria:
  • Lembrete notável: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1. Uma forma rápida de justificar isso é pelo Teorema do Confronto (squeeze): para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale \cos u \le \dfrac{\sin u}{u}\le 1; como \lim_{u\to 0}\cos u=1, segue o limite pedido é 1.
  • Relação trigonométrica: \operatorname{tg}(u)=\dfrac{\sin u}{\cos u}.
Usando isso, escrevo
\frac{\operatorname{tg}(u)}{u} = \frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
Agora avalio o limite do produto: pela propriedade de limites,
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos u}=\frac{1}{\lim_{u\to 0}\cos u}=\frac{1}{1}=1.
Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{tg}(u)}{u} = 1\cdot 1 = 1.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{x\to\infty} x\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{tg}(u)}{u} = 1.
Intuição rápida: para ângulos pequenos \operatorname{tg}(u)\approx u, então x\operatorname{tg}(1/x)\approx x\cdot(1/x)=1. Vai dar certo na prova usar a mudança u=1/x e o limite notável \sin u/u\to 1.

Resposta

1

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