Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln (2-x)}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{\ln(2-x)}{x-1}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • Quando x\to 1 temos \ln(2-x)\to \ln(1)=0.
  • Quando x\to 1 o denominador x-1\to 0.
    Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0. A tarefa é eliminar essa indeterminação e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Lembrete didático do limite notável que vamos usar: para a função logaritmo natural vale
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Explicação simples do porquê: essa é exatamente a derivada de \ln x no ponto x=1. Pela definição de derivada,
(\ln x)'\big|_{x=1}=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)-\ln 1}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Ou, de forma intuitiva, para t muito pequeno tem-se \ln(1+t)\approx t, logo a razão tende a 1.

Passo 3

Fazer uma mudança de variável para colocar a expressão na forma do limite notável. Defina
u=1-x.
Então, quando x\to 1 tem-se u\to 0. Reescrevendo as partes da expressão:
2-x = 1 + (1-x)=1+u, \qquad x-1 = -u.
Substituindo na fração original obtemos
\frac{\ln(2-x)}{x-1}=\frac{\ln(1+u)}{-u}=-\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 4

Aplicar o limite na expressão em u. Como u\to 0 e usando o limite notável do Passo 2,
\lim_{x\to 1}\frac{\ln(2-x)}{x-1}=\lim_{u\to 0}\left(-\frac{\ln(1+u)}{u}\right)=-\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Pelo limite notável \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1, portanto a quantidade acima vale -1.

Passo 5

Verificação alternativa rápida (opcional): usando a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x,
\frac{d}{dx}\ln(2-x) = -\frac{1}{2-x}, \qquad \frac{d}{dx}(x-1)=1.
Logo, pela regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to 1}\frac{\ln(2-x)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\left(-\frac{1}{2-x}\right)=-1,
confirmando o resultado encontrado.

Resposta

-1

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