Krabalhw-Calcule
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos deu. O integral a calcular é
Informações importantes que o enunciado dá:
- O integrando é
. - O limite inferior é
. - O limite superior é
, que é igual a . - A variável de integração é
(um ângulo). Aqui trabalhamos com em radianos por padrão em cálculo integral.
Portanto, reescrevendo o integral de forma simples:
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade trigonométrica muito útil para integrar quadrados de seno ou cosseno sem complicação. A identidade de ângulo duplo diz que
Isolando
obtemos a forma prática:
Explicando: isso transforma um quadrado (não linear) em uma soma de termos mais fáceis de integrar — uma constante e um cosseno de ângulo dobrado.
Passo 3
Substituímos a identidade no integrando para simplificar a integral:
Aqui separei em duas integrais usando a linearidade da integral:
e fator comum
.
Passo 4
Agora integro cada termo. Regras usadas:
-
. - Para a integral de
, vale a regra geral . Isso vem da derivada de : .
Aplicando:
Note que usei
na fórmula para
, por isso o fator
dentro da primitiva e o produto com
externo torna
.
Passo 5
Agora juntamos os resultados e simplificamos. Como
, obtemos:
Explicando em palavras: o termo
vem da média (metade) do comprimento do intervalo e
é a contribuição oscilante proveniente do termo
. Lembre que
está em radianos porque
está em radianos.