Krabalhw-Calcule
\int_{0}^{\frac{14}{2}} \cos ^{2} \theta d \theta

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos deu. O integral a calcular é
\int_{0}^{\frac{14}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • O integrando é \cos^{2}\theta.
  • O limite inferior é 0.
  • O limite superior é \dfrac{14}{2}, que é igual a 7.
  • A variável de integração é \theta (um ângulo). Aqui trabalhamos com \theta em radianos por padrão em cálculo integral.
Portanto, reescrevendo o integral de forma simples:
\int_{0}^{7} \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade trigonométrica muito útil para integrar quadrados de seno ou cosseno sem complicação. A identidade de ângulo duplo diz que
\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1.
Isolando \cos^{2}\theta obtemos a forma prática:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Explicando: isso transforma um quadrado (não linear) em uma soma de termos mais fáceis de integrar — uma constante e um cosseno de ângulo dobrado.

Passo 3

Substituímos a identidade no integrando para simplificar a integral:
\int_{0}^{7} \cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{7} \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{7} 1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{7}\cos(2\theta)\,d\theta.
Aqui separei em duas integrais usando a linearidade da integral: \int (a+b)=\int a+\int b e fator comum 1/2.

Passo 4

Agora integro cada termo. Regras usadas:
  • \displaystyle \int 1\,d\theta = \theta + C.
  • Para a integral de \cos(k\theta), vale a regra geral \displaystyle \int \cos(k\theta)\,d\theta = \frac{1}{k}\sin(k\theta)+C. Isso vem da derivada de \sin(k\theta): \dfrac{d}{d\theta}\sin(k\theta)=k\cos(k\theta).
Aplicando:
\frac{1}{2}\int_{0}^{7} 1\,d\theta = \frac{1}{2}\big[\theta\big]_{0}^{7} = \frac{1}{2}(7-0)=\frac{7}{2}.
\frac{1}{2}\int_{0}^{7}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{7} = \frac{1}{4}\big(\sin(2\cdot 7)-\sin(0)\big).
Note que usei k=2 na fórmula para \cos(2\theta), por isso o fator \tfrac{1}{2} dentro da primitiva e o produto com \tfrac{1}{2} externo torna \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Agora juntamos os resultados e simplificamos. Como \sin(0)=0, obtemos:
\int_{0}^{7}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{7}{2} + \frac{1}{4}\sin(14).
Explicando em palavras: o termo \frac{7}{2} vem da média (metade) do comprimento do intervalo e \frac{1}{4}\sin(14) é a contribuição oscilante proveniente do termo \cos(2\theta). Lembre que \sin(14) está em radianos porque \theta está em radianos.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{2}+\frac{1}{4}\sin(14)

Exercícios relacionados