Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{3^{\frac{x+2}{7}}-1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to-2}\frac{3^{\frac{x+2}{7}}-1}{x+2}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão no numerador é 3^{\frac{x+2}{7}}-1.
  • O denominador é x+2.
  • Quando x\to-2 temos x+2\to0, logo numerador e denominador tendem a zero, ou seja é uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}.
    O objetivo é remover essa indeterminação usando limites notáveis e obter o valor do limite.

Passo 2

Fazer uma substituição simples para limpar a expressão: seja
h = x+2,
então quando x\to-2 temos h\to0. Reescrevendo o limite em h:
\lim_{x\to-2}\frac{3^{\frac{x+2}{7}}-1}{x+2} = \lim_{h\to0}\frac{3^{\frac{h}{7}}-1}{h}.
Agora trabalhamos com a forma \dfrac{3^{h/7}-1}{h} quando h\to0.

Passo 3

Manipular algebricamente para obter uma forma que permita aplicar um limite notável. Observe que
\frac{3^{\frac{h}{7}}-1}{h} = \frac{1}{7}\,\frac{3^{\frac{h}{7}}-1}{\frac{h}{7}}.
Para ver isso, basta multiplicar e dividir por 7:
\frac{3^{\frac{h}{7}}-1}{h} = \frac{3^{\frac{h}{7}}-1}{h}\cdot\frac{7}{7} = \frac{1}{7}\cdot\frac{3^{\frac{h}{7}}-1}{\frac{h}{7}}.
Definindo u=\dfrac{h}{7}, nota-se que u\to0 quando h\to0. Então o limite fica
\lim_{h\to0}\frac{3^{\frac{h}{7}}-1}{h} = \frac{1}{7}\lim_{u\to0}\frac{3^{u}-1}{u}.

Passo 4

Aplicar o limite notável. Existe o resultado padrão (que vale para qualquer base positiva a\neq1):
\lim_{u\to0}\frac{a^{u}-1}{u}=\ln a.
Explicação do porquê desse limite (de forma didática):
  • Escrever a^{u}=e^{u\ln a}. Então
\frac{a^{u}-1}{u}=\frac{e^{u\ln a}-1}{u}.
  • Colocar t=u\ln a. Quando u\to0, t\to0 também. Temos
\frac{e^{u\ln a}-1}{u}=\frac{e^{t}-1}{t}\cdot\ln a.
  • O limite \lim_{t\to0}\dfrac{e^{t}-1}{t}=1. Justificativa simples: a expansão em série de Taylor de e^{t} ao redor de 0 é e^{t}=1+t+\tfrac{t^{2}}{2}+\cdots, então \dfrac{e^{t}-1}{t}=1+\tfrac{t}{2}+\cdots\to1. Alternativamente, esse limite é a derivada de e^{t} em t=0, que vale 1.
  • Portanto \lim_{u\to0}\dfrac{a^{u}-1}{u}=\ln a.

Passo 5

Aplicando o resultado ao nosso caso com a=3:
\lim_{u\to0}\frac{3^{u}-1}{u}=\ln 3.
Voltando à expressão obtida no Passo 3:
\lim_{h\to0}\frac{3^{\frac{h}{7}}-1}{h} = \frac{1}{7}\lim_{u\to0}\frac{3^{u}-1}{u} = \frac{1}{7}\ln 3.

Passo 6

Conclusão final: o valor do limite pedido é \dfrac{1}{7}\ln 3. Força aí — essa é uma técnica que cai muito em prova: reconhecer formas \dfrac{a^{u}-1}{u} e usar \ln a.

Resposta

\dfrac{1}{7}\ln 3

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