Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão no numerador é
. - O denominador é
. - Quando
temos , logo numerador e denominador tendem a zero, ou seja é uma indeterminação do tipo .
O objetivo é remover essa indeterminação usando limites notáveis e obter o valor do limite.
Passo 2
Fazer uma substituição simples para limpar a expressão: seja
então quando
temos
. Reescrevendo o limite em
:
Agora trabalhamos com a forma
quando
.
Passo 3
Manipular algebricamente para obter uma forma que permita aplicar um limite notável. Observe que
Para ver isso, basta multiplicar e dividir por
:
Definindo
, nota-se que
quando
. Então o limite fica
Passo 4
Aplicar o limite notável. Existe o resultado padrão (que vale para qualquer base positiva
):
Explicação do porquê desse limite (de forma didática):
- Escrever
. Então
- Colocar
. Quando , também. Temos
- O limite
. Justificativa simples: a expansão em série de Taylor de ao redor de é , então . Alternativamente, esse limite é a derivada de em , que vale . - Portanto
.
Passo 5
Aplicando o resultado ao nosso caso com
:
Voltando à expressão obtida no Passo 3:
Passo 6
Conclusão final: o valor do limite pedido é
. Força aí — essa é uma técnica que cai muito em prova: reconhecer formas
e usar
.