Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{e^{x}-e^{3}}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite:
\lim_{x\to 3}\frac{e^{x}-e^{3}}{x-3}.
Informações dadas e o que se busca:
  • A expressão é uma razão com numerador e^{x}-e^{3} e denominador x-3.
  • O ponto de aproximação é x=3.
  • Precisa-se calcular o valor do limite quando x tende a 3.

Passo 2

Verificação da forma indeterminada: ao substituir x=3 diretamente,
e^{x}-e^{3}\big|_{x=3}=e^{3}-e^{3}=0, \qquad x-3\big|_{x=3}=0,
portanto a expressão tem a forma \tfrac{0}{0}, que é indeterminada. Isso indica que devemos manipular algebraicamente ou usar limites notáveis para avaliar o limite.

Passo 3

Fatorar e^{3} no numerador para simplificar a expressão. Observe que
e^{x}-e^{3}=e^{3}\bigl(e^{x-3}-1\bigr).
Logo
\frac{e^{x}-e^{3}}{x-3} = e^{3}\cdot\frac{e^{x-3}-1}{x-3}.
Agora faça a substituição auxiliar \,u=x-3. Quando x\to3 temos u\to0. Assim o limite fica
\lim_{x\to3}\frac{e^{x}-e^{3}}{x-3} = e^{3}\cdot\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 4

Usar o limite notável. O limite notável (ou resultado clássico) é
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Explicações/justificativas (duas formas curtas para entender por que vale 1):
  • Pelo desenvolvimento em série de Taylor (expansão de e^{t} em torno de t=0):
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por t
\frac{e^{t}-1}{t}=1+\frac{t}{2}+\frac{t^{2}}{6}+\cdots,
e ao tomar t\to0 todos os termos com t vão a zero, restando 1.
  • Pela definição de derivada: a derivada de e^{x} em x=0 é
(e^{x})'\big|_{x=0}=\lim_{t\to0}\frac{e^{0+t}-e^{0}}{t}=\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}.
Como a derivada de e^{x} é e^{x}, em x=0 vale e^{0}=1; portanto o limite é 1.
Ambas as justificativas mostram que
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão obtida no Passo 3:
\lim_{x\to3}\frac{e^{x}-e^{3}}{x-3} = e^{3}\cdot 1.

Resposta

e^{3}

Exercícios relacionados