Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte limite:
Informações dadas e o que se busca:
- A expressão é uma razão com numerador
e denominador . - O ponto de aproximação é
. - Precisa-se calcular o valor do limite quando
tende a .
Passo 2
Verificação da forma indeterminada: ao substituir
diretamente,
portanto a expressão tem a forma
, que é indeterminada. Isso indica que devemos manipular algebraicamente ou usar limites notáveis para avaliar o limite.
Passo 3
Fatorar
no numerador para simplificar a expressão. Observe que
Logo
Agora faça a substituição auxiliar
. Quando
temos
. Assim o limite fica
Passo 4
Usar o limite notável. O limite notável (ou resultado clássico) é
Explicações/justificativas (duas formas curtas para entender por que vale 1):
- Pelo desenvolvimento em série de Taylor (expansão de
em torno de ):
Subtraindo 1 e dividindo por
dá
e ao tomar
todos os termos com
vão a zero, restando
.
- Pela definição de derivada: a derivada de
em é
Como a derivada de
é
, em
vale
; portanto o limite é
.
Ambas as justificativas mostram que
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão obtida no Passo 3: