Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A variável tende a
. - O numerador é a diferença de duas funções exponenciais:
e . - O denominador é a diferença de funções trigonométricas:
e .
Objetivo: encontrar o valor do limite quando.
Passo 2
Relembrando dois limites notáveis que vamos usar — explico o porquê deles e como obtê‑los de forma simples:
- Limite exponencial:
para qualquer constante
. Justificativa curta: escrever
. Então, com
temos
e como
(fato clássico sobre exponencial), obtemos
.
- Limite trigonométrico:
Justificativa curta: é um limite fundamental; equivalentemente pode ser visto pela expansão em série
ou pelo fato de que a derivada de
em
é
. Esse limite implica que, para qualquer constante
,
porque
.
Passo 3
Fazer uma manipulação algébrica útil para aplicar os limites notáveis: escrevo o numerador como soma/diferença de termos da forma
:
Agora divido numerador e denominador por
(estratégia: transformar expressões no formato
ou
para aplicar os limites anteriores):
Passo 4
Avalio separadamente os limites das partes que aparecem acima quando
.
Para o numerador (cada fração do tipo
entra no caso do limite exponencial):
Portanto o limite do numerador é
Passo 5
Agora o denominador. Usando o limite trigonométrico e a observação com constante
:
Logo o limite do denominador é
Passo 6
Com os limites do numerador e do denominador encontrados, pelo teorema do quociente (quando o denominador tende a um número não nulo) o limite original é o quociente desses limites.