Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x}-5^{x}}{\operatorname{sen}(2 x)-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-5^{x}}{\operatorname{sen}(2x)-\operatorname{sen}x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável tende a 0.
  • O numerador é a diferença de duas funções exponenciais: 2^{x} e 5^{x}.
  • O denominador é a diferença de funções trigonométricas: \operatorname{sen}(2x) e \operatorname{sen}x.
    Objetivo: encontrar o valor do limite quando x\to0.

Passo 2

Relembrando dois limites notáveis que vamos usar — explico o porquê deles e como obtê‑los de forma simples:
  1. Limite exponencial:
\lim_{t\to 0}\frac{a^{t}-1}{t}=\ln a,
para qualquer constante a>0. Justificativa curta: escrever a^{t}=e^{t\ln a}. Então, com u=t\ln a temos
\frac{a^{t}-1}{t}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\ln a,
e como \lim_{u\to0}\dfrac{e^{u}-1}{u}=1 (fato clássico sobre exponencial), obtemos \ln a.
  1. Limite trigonométrico:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Justificativa curta: é um limite fundamental; equivalentemente pode ser visto pela expansão em série \sin t=t+o(t) ou pelo fato de que a derivada de \sin t em 0 é \cos 0=1. Esse limite implica que, para qualquer constante k,
\lim_{t\to0}\frac{\sin(kt)}{t}=k,
porque \dfrac{\sin(kt)}{t}=k\cdot\dfrac{\sin(kt)}{kt}\to k\cdot 1.

Passo 3

Fazer uma manipulação algébrica útil para aplicar os limites notáveis: escrevo o numerador como soma/diferença de termos da forma a^{x}-1:
2^{x}-5^{x}=(2^{x}-1)-(5^{x}-1).
Agora divido numerador e denominador por x (estratégia: transformar expressões no formato \dfrac{f(x)-f(0)}{x} ou \dfrac{\sin(kx)}{x} para aplicar os limites anteriores):
\frac{2^{x}-5^{x}}{\operatorname{sen}(2x)-\operatorname{sen}x} = \frac{\dfrac{2^{x}-1}{x}-\dfrac{5^{x}-1}{x}} {\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}-\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}}.

Passo 4

Avalio separadamente os limites das partes que aparecem acima quando x\to0.
Para o numerador (cada fração do tipo \dfrac{a^{x}-1}{x} entra no caso do limite exponencial):
\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{5^{x}-1}{x}=\ln 5.
Portanto o limite do numerador é
\lim_{x\to0}\left(\frac{2^{x}-1}{x}-\frac{5^{x}-1}{x}\right)=\ln 2-\ln 5.

Passo 5

Agora o denominador. Usando o limite trigonométrico e a observação com constante k:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}=2, \qquad \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
Logo o limite do denominador é
\lim_{x\to0}\left(\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}-\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)=2-1=1.

Passo 6

Com os limites do numerador e do denominador encontrados, pelo teorema do quociente (quando o denominador tende a um número não nulo) o limite original é o quociente desses limites.

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{2}{5}\right)

Exercícios relacionados