Calcule os seguintes limites usando a Regra de Le)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
usando a Regra de L’Hôpital. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente quando temos uma forma indeterminada como
ou
. Para resolver, vamos precisar usar derivadas das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções quando
se aproxima de 0 pela direita (
).
Sabemos que:
-
quando está perto de 0. -
porque quando está próximo de 0.
Então, podemos escrever aproximadamente:
Isso nos dá uma forma
, que resulta em 1. Mas para confirmar rigorosamente, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em uma forma indeterminada
ou
, então o limite pode ser calculado como:
Desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Vamos definir:
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
.
A derivada de
:
A derivada de
:
Simplificando
:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite é igual a
.