Calcule os seguintes limites usando a Regra de Le) lim x 0^+ ln (sen x)ln (tg x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx 0^+ ln (sin x)ln (tan x) usando a Regra de L’Hôpital. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente quando temos uma forma indeterminada como 00 ou inftyinfty. Para resolver, vamos precisar usar derivadas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0^+).
Sabemos que:
  • sin x approx x quando x está perto de 0.
  • tan x = sin xcos x approx x porque cos x approx 1 quando x está próximo de 0.
Então, podemos escrever aproximadamente:
ln(sin x) approx ln(x) e ln(tan x) approx ln(x)
Isso nos dá uma forma ln(x)ln(x), que resulta em 1. Mas para confirmar rigorosamente, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em uma forma indeterminada 00 ou inftyinfty, então o limite pode ser calculado como:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos definir:
f(x) = ln(sin x) e g(x) = ln(tan x)
Primeiro, calculamos as derivadas de f(x) e g(x).
A derivada de f(x):
f'(x) = ddx ln(sin x) = cos xsin x = cot x
A derivada de g(x):
g'(x) = ddx ln(tan x) = 1tan x cdot sec^2 x = sec^2 xtan x
Simplificando sec^2 xtan x:
1cos^2 x cdot cos xsin x = 1sin x cos x

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx 0^+ ln (sin x)ln (tan x) = limx 0^+ f'(x)g'(x) = limx 0^+ cot x1sin x cos x = limx 0^+ cot x cdot sin x cos x
Simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos o limite de cos^2 x quando x se aproxima de 0:
limx 0^+ cos^2 x = (cos 0)^2 = 1^2 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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