Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e observações imediatas:
- Quando
temos . - Cada termo diverge:
e . - A expressão está na forma indeterminada
, então precisamos manipular para aplicar a regra de L’Hospital (que exige uma forma ou ).
Passo 2
Juntar as frações em um único quociente para obter uma forma adequada para L’Hospital. Coloco um denominador comum:
Aqui defini o numerador
e o denominador
Verifico os limites das partes quando
:
Portanto o quociente está na forma
e podemos usar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Lembrando a regra de L’Hospital (versão que vamos usar): se
e
quando
e
e
são diferenciáveis perto de
com
perto de
(exceto possivelmente em
), então
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Vou calcular
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas passo a passo.
-
Primeiro o numerador
. - Derivada de
usando regra da cadeia: - Derivada de
é . - Logo
- Derivada de
-
Agora o denominador
. - Derivada de
é
- Derivada de
Portanto, pela regra de L’Hospital,
Passo 5
Simplificar a expressão obtida para avaliar o limite.
Seja
(então
). Reescrevo a razão em termos de
:
Multiplico numerador e denominador por
para simplificar:
Agora analiso o limite quando
:
- O numerador tende a
. - O denominador tende a
.
Portanto a razão tende para. Logo
Passo 6
Concluo que o limite original diverge para
. Em palavras: a diferença entre duas quantidades que crescem para
aqui é dominada pelo termo
, fazendo a expressão crescer sem limite quando
se aproxima de
pela direita.