Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1^{+}}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right).
Informações e observações imediatas:
  • Quando x\to 1^{+} temos x-1\to 0^{+}.
  • Cada termo diverge: \dfrac{1}{x-1}\to +\infty e \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\to +\infty.
  • A expressão está na forma indeterminada \infty-\infty, então precisamos manipular para aplicar a regra de L’Hospital (que exige uma forma 0/0 ou \infty/\infty).

Passo 2

Juntar as frações em um único quociente para obter uma forma adequada para L’Hospital. Coloco um denominador comum:
\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}} =\frac{\sqrt{x-1}-(x-1)}{(x-1)\sqrt{x-1}}.
Aqui defini o numerador
N(x)=\sqrt{x-1}-(x-1)
e o denominador
D(x)=(x-1)\sqrt{x-1}.
Verifico os limites das partes quando x\to 1^{+}:
N(x)\to 0-0=0,\qquad D(x)\to 0\cdot 0=0.
Portanto o quociente está na forma 0/0 e podemos usar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Lembrando a regra de L’Hospital (versão que vamos usar): se N(x)\to 0 e D(x)\to 0 quando x\to a e N e D são diferenciáveis perto de a com D'(x)\neq 0 perto de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to a}\frac{N'(x)}{D'(x)},
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Vou calcular N'(x) e D'(x).

Passo 4

Calcular as derivadas passo a passo.
  • Primeiro o numerador N(x)=\sqrt{x-1}-(x-1).
    • Derivada de \sqrt{x-1}=(x-1)^{1/2} usando regra da cadeia: \frac{d}{dx}(x-1)^{1/2}=\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.
    • Derivada de -(x-1) é -1.
    • Logo N'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-1.
  • Agora o denominador D(x)=(x-1)\sqrt{x-1}=(x-1)^{3/2}.
    • Derivada de (x-1)^{3/2} é D'(x)=\frac{3}{2}(x-1)^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x-1}.
Portanto, pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{N(x)}{D(x)} =\lim_{x\to 1^{+}}\frac{N'(x)}{D'(x)} =\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}-1}{\dfrac{3}{2}\sqrt{x-1}}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida para avaliar o limite.
Seja t=x-1 (então t\to 0^{+}). Reescrevo a razão em termos de t:
\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{t}}-1}{\dfrac{3}{2}\sqrt{t}}.
Multiplico numerador e denominador por 2\sqrt{t} para simplificar:
\frac{1-2\sqrt{t}}{3t}.
Agora analiso o limite quando t\to 0^{+}:
  • O numerador tende a 1-0=1.
  • O denominador tende a 0^{+}.
    Portanto a razão tende para +\infty. Logo
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{N'(x)}{D'(x)}=+\infty.

Passo 6

Concluo que o limite original diverge para +\infty. Em palavras: a diferença entre duas quantidades que crescem para +\infty aqui é dominada pelo termo \dfrac{1}{x-1}, fazendo a expressão crescer sem limite quando x se aproxima de 1 pela direita.

Resposta

+\infty

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