Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+\operatorname{sen}(x))^{\cot g(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\bigl(1+\sin x\bigr)^{\cot x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \bigl(1+\sin x\bigr)^{\cot x}.
  • Quando x\to 0 temos \sin x\to 0, logo a base 1+\sin x\to 1.
  • Quando x\to 0 temos \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\to +\infty (porque \sin x\to 0 e \cos x\to 1).
  • Portanto a forma do limite é do tipo 1^{\infty}, que é uma indeterminação clássica que exige transformação para ser calculada.

Passo 2

Estratégia (sem cálculos ainda): para limites do tipo 1^{\infty} é padrão tomar o logaritmo natural da expressão e calcular o limite do logaritmo; depois reverter exponenciando. Então definimos a quantidade cujo limite queremos como
L=\lim_{x\to 0}\bigl(1+\sin x\bigr)^{\cot x},
e vamos calcular primeiro \lim_{x\to 0}\ln L. Note que
\ln L=\lim_{x\to 0}\cot x\cdot\ln\!\bigl(1+\sin x\bigr).
Essa forma é do tipo \infty\cdot 0, outra indeterminação; para aplicar a regra de L’Hospital convém transformar em uma razão. Usamos \cot x=\dfrac{1}{\tan x} e obtemos
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\bigl(1+\sin x\bigr)}{\tan x},
que é uma forma 0/0 quando x\to 0, portanto apropriada para L’Hospital.

Passo 3

Relembrando a regra de L’Hospital (em palavras simples): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty) e as derivadas f'(x) e g'(x) existem numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existir. Aqui podemos aplicar com
f(x)=\ln\!\bigl(1+\sin x\bigr),\qquad g(x)=\tan x,
pois f(0)=\ln(1+0)=0 e g(0)=0.
Agora calculamos as derivadas passo a passo:
  • Derivada do numerador:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(1+\sin x\bigr)=\frac{\cos x}{1+\sin x}.
Explicação: derivada de \ln(u) é u'/u; aqui u=1+\sin x e u'=\cos x.
  • Derivada do denominador:
g'(x)=\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.
Explicação: derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x, e \operatorname{sec} x=1/\cos x.
Aplicando L’Hospital:
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{\cos x}{1+\sin x}}{\dfrac{1}{\cos^2 x}}.
Simplificando a fração:
\frac{\dfrac{\cos x}{1+\sin x}}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} =\frac{\cos x}{1+\sin x}\cdot\cos^2 x =\frac{\cos^3 x}{1+\sin x}.
Agora avaliamos o limite quando x\to 0: \cos 0=1 e \sin 0=0, então
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^3 x}{1+\sin x}=\frac{1^3}{1+0}=1.

Passo 4

Voltando da transformação logarítmica: encontramos \ln L=1. Exponenciando ambos os lados obtemos
L=e^{\ln L}=e^{1}=e.
Como verificação rápida (intuitiva): para pequenos x vale \sin x\approx x e \cot x\approx 1/x, logo \bigl(1+\sin x\bigr)^{\cot x}\approx(1+x)^{1/x} e sabe-se que \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e. Isso confirma o resultado obtido por L’Hospital.

Resposta

e

Exercícios relacionados