Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - Quando
temos , logo a base . - Quando
temos (porque e ). - Portanto a forma do limite é do tipo
, que é uma indeterminação clássica que exige transformação para ser calculada.
Passo 2
Estratégia (sem cálculos ainda): para limites do tipo
é padrão tomar o logaritmo natural da expressão e calcular o limite do logaritmo; depois reverter exponenciando. Então definimos a quantidade cujo limite queremos como
e vamos calcular primeiro
. Note que
Essa forma é do tipo
, outra indeterminação; para aplicar a regra de L’Hospital convém transformar em uma razão. Usamos
e obtemos
que é uma forma
quando
, portanto apropriada para L’Hospital.
Passo 3
Relembrando a regra de L’Hospital (em palavras simples): se
e
(ou ambos
) e as derivadas
e
existem numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então
quando o limite do lado direito existir. Aqui podemos aplicar com
pois
e
.
Agora calculamos as derivadas passo a passo:
- Derivada do numerador:
Explicação: derivada de
é
; aqui
e
.
- Derivada do denominador:
Explicação: derivada de
é
, e
.
Aplicando L’Hospital:
Simplificando a fração:
Agora avaliamos o limite quando
:
e
, então
Passo 4
Voltando da transformação logarítmica: encontramos
. Exponenciando ambos os lados obtemos
Como verificação rápida (intuitiva): para pequenos
vale
e
, logo
e sabe-se que
. Isso confirma o resultado obtido por L’Hospital.