Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandotende para ?
Passo 2
Verificar os limites das partes para identificar a forma indeterminada.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem para
, a expressão tem a forma indeterminada
. Quando isso acontece, uma ferramenta útil é a regra de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis e as condições da regra sejam satisfeitas).
Passo 3
Enunciado rápido da regra de L’Hospital (versão usada aqui):
Sejam e
funções diferenciáveis em algum intervalo
(exceto possivelmente em um ponto) e
Sejam
Se existir o limite
então
Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis para todo
, e
não é identicamente zero para grandes
, portanto podemos aplicar L’Hospital.
Passo 4
Calcular as derivadas que aparecem na regra e aplicar L’Hospital uma vez.
Regras usadas:
Regras usadas:
- Derivada da exponencial:
. - Derivada de potência:
.
Aplicando L’Hospital:
Verificar a forma desta nova fração:
portanto ainda temos a forma indeterminada
e podemos aplicar L’Hospital novamente.
Passo 5
Aplicar L’Hospital pela segunda vez.
Derivadas agora:
Derivadas agora:
Portanto
Agora o denominador é a constante
e o numerador tende para
, logo
Passo 6
Conclusão: como após duas aplicações da regra de L’Hospital obteve-se um limite infinito, o limite original também é infinito. Intuitivamente: a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então a razão tende para
.