Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{y \rightarrow \infty} \frac{e^{y}}{y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{y\rightarrow\infty}\frac{e^{y}}{y^{2}}.
Informações dadas:
  • O numerador é \mathrm e^{y}.
  • O denominador é y^{2}.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando y tende para \infty?

Passo 2

Verificar os limites das partes para identificar a forma indeterminada.
\lim_{y\rightarrow\infty}\mathrm e^{y}=\infty, \qquad \lim_{y\rightarrow\infty}y^{2}=\infty.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem para \infty, a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{\infty}{\infty}. Quando isso acontece, uma ferramenta útil é a regra de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis e as condições da regra sejam satisfeitas).

Passo 3

Enunciado rápido da regra de L’Hospital (versão usada aqui):
Sejam f e g funções diferenciáveis em algum intervalo (a,\infty) (exceto possivelmente em um ponto) e
\lim_{y\rightarrow\infty}f(y)=\lim_{y\rightarrow\infty}g(y)=\infty.
Se existir o limite
\lim_{y\rightarrow\infty}\frac{f'(y)}{g'(y)}
então
\lim_{y\rightarrow\infty}\frac{f(y)}{g(y)}=\lim_{y\rightarrow\infty}\frac{f'(y)}{g'(y)}.
Aqui f(y)=\mathrm e^{y} e g(y)=y^{2}. Ambas são diferenciáveis para todo y, e g'(y) não é identicamente zero para grandes y, portanto podemos aplicar L’Hospital.

Passo 4

Calcular as derivadas que aparecem na regra e aplicar L’Hospital uma vez.
Regras usadas:
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dy}\mathrm e^{y}=\mathrm e^{y}.
  • Derivada de potência: \dfrac{d}{dy}y^{2}=2y.
Aplicando L’Hospital:
\lim_{y\rightarrow\infty}\frac{\mathrm e^{y}}{y^{2}} = \lim_{y\rightarrow\infty}\frac{\dfrac{d}{dy}\mathrm e^{y}}{\dfrac{d}{dy}y^{2}} = \lim_{y\rightarrow\infty}\frac{\mathrm e^{y}}{2y}.
Verificar a forma desta nova fração:
\lim_{y\rightarrow\infty}\mathrm e^{y}=\infty, \qquad \lim_{y\rightarrow\infty}2y=\infty,
portanto ainda temos a forma indeterminada \dfrac{\infty}{\infty} e podemos aplicar L’Hospital novamente.

Passo 5

Aplicar L’Hospital pela segunda vez.
Derivadas agora:
\dfrac{d}{dy}\mathrm e^{y}=\mathrm e^{y}, \qquad \dfrac{d}{dy}(2y)=2.
Portanto
\lim_{y\rightarrow\infty}\frac{\mathrm e^{y}}{2y} = \lim_{y\rightarrow\infty}\frac{\dfrac{d}{dy}\mathrm e^{y}}{\dfrac{d}{dy}(2y)} = \lim_{y\rightarrow\infty}\frac{\mathrm e^{y}}{2}.
Agora o denominador é a constante 2 e o numerador tende para \infty, logo
\lim_{y\rightarrow\infty}\frac{\mathrm e^{y}}{2}=\infty.

Passo 6

Conclusão: como após duas aplicações da regra de L’Hospital obteve-se um limite infinito, o limite original também é infinito. Intuitivamente: a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então a razão tende para +\infty.

Resposta

+\infty

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