Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{\operatorname{sen}(6 x)}

Passo 1

O problema pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}(6x)}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre as funções \operatorname{sen}(5x) e \operatorname{sen}(6x) quando x aproxima-se de 0. Não há outras condições ou dados adicionais.

Passo 2

Fato padrão e muito útil (explicação didática): existe um limite fundamental para a função seno perto de zero,
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Aqui t é uma variável real que tende a 0. Intuição simples: para ângulos pequenos a função \operatorname{sen} t comporta-se aproximadamente como t (em radianos). Formalmente isso pode ser visto usando o desenvolvimento em série \operatorname{sen} t = t - \tfrac{t^3}{6} + \cdots ou pela definição da derivada em 0 ( (\operatorname{sen} t)'|_{t=0}=\cos 0=1) ou por argumentos geométricos com desigualdades. O que importa para nós é que esse limite vale e será usado.

Passo 3

Vamos transformar a expressão original de forma a usar o limite fundamental. Divida numerador e denominador por x (assumindo x\neq0; o limite considera valores próximos de 0, não exatamente 0):
\frac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}(6x)} = \frac{\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}}{\dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{x}}.
Agora escreva cada termo \dfrac{\operatorname{sen}(kx)}{x} de maneira que apareça \dfrac{\operatorname{sen}(kx)}{kx}. Observe que
\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x} = 5\cdot\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x} \qquad\text{e}\qquad \frac{\operatorname{sen}(6x)}{x} = 6\cdot\frac{\operatorname{sen}(6x)}{6x}.
Substituindo na razão obtemos
\frac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}(6x)} = \frac{5\cdot\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}}{6\cdot\dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{6x}} = \frac{5}{6}\cdot \frac{\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}}{\dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{6x}}.

Passo 4

Agora aplicamos limites componente a componente, usando propriedades de limites (produto e quociente): se os limites das partes existem e o denominador não tende a zero, o limite do quociente é o quociente dos limites. Pelo limite fundamental do Passo 2 temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(6x)}{6x}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}(6x)} = \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{1} = \frac{5}{6}.

Passo 5

Comentário alternativo (opcional, só para reforçar): usando a regra de L’Hôpital (já que tanto numerador quanto denominador tendem a 0), derivando top e bottom obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}(6x)} =\lim_{x\to 0}\frac{5\cos(5x)}{6\cos(6x)} =\frac{5\cos 0}{6\cos 0}=\frac{5}{6},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Recapitulando de forma amigável: perto de 0 a função \operatorname{sen} “vira” a sua própria entrada (em radianos), então \operatorname{sen}(5x) se comporta como 5x e \operatorname{sen}(6x) como 6x; a razão fica aproximadamente 5x/6x=5/6. Fica a dica: esse tipo de manipulação com \dfrac{\operatorname{sen}(kx)}{kx} é padrão em provas — memoriza o truque que ajuda muito!

Resposta

\dfrac{5}{6}

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