Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas: a expressão é a razão entre as funções
e
quando
aproxima-se de
. Não há outras condições ou dados adicionais.
Passo 2
Fato padrão e muito útil (explicação didática): existe um limite fundamental para a função seno perto de zero,
Aqui
é uma variável real que tende a
. Intuição simples: para ângulos pequenos a função
comporta-se aproximadamente como
(em radianos). Formalmente isso pode ser visto usando o desenvolvimento em série
ou pela definição da derivada em
(
) ou por argumentos geométricos com desigualdades. O que importa para nós é que esse limite vale e será usado.
Passo 3
Vamos transformar a expressão original de forma a usar o limite fundamental. Divida numerador e denominador por
(assumindo
; o limite considera valores próximos de
, não exatamente
):
Agora escreva cada termo
de maneira que apareça
. Observe que
Substituindo na razão obtemos
Passo 4
Agora aplicamos limites componente a componente, usando propriedades de limites (produto e quociente): se os limites das partes existem e o denominador não tende a zero, o limite do quociente é o quociente dos limites. Pelo limite fundamental do Passo 2 temos
Portanto
Passo 5
Comentário alternativo (opcional, só para reforçar): usando a regra de L’Hôpital (já que tanto numerador quanto denominador tendem a
), derivando top e bottom obtemos
o que confirma o resultado anterior.
Passo 6
Recapitulando de forma amigável: perto de
a função
“vira” a sua própria entrada (em radianos), então
se comporta como
e
como
; a razão fica aproximadamente
. Fica a dica: esse tipo de manipulação com
é padrão em provas — memoriza o truque que ajuda muito!