Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma fração de polinômios em x.
  • Se eu substituir x=1 diretamente, tanto o numerador quanto o denominador valem zero: 1^{4}-1=0,\qquad 1^{3}-1=0,então a forma é indeterminada do tipo \frac{0}{0}. Não podemos usar a regra de L’Hôpital (o enunciado proibiu), então precisamos manipular algebricamente para remover a indeterminação.

Passo 2

Conceito útil: fatoração de diferença de potências.
Para todo inteiro n\ge 1 vale a identidade (fórmula da soma geométrica):
x^{n}-1=(x-1)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\bigr).
Explicando em palavras: x^{n}-1 tem sempre um fator comum (x-1); o outro fator é a soma das potências de x de 0 até n-1.

Passo 3

Aplicando essa fatoração aos dois polinômios do limite.
Para o numerador ( n=4):
x^{4}-1=(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).
Para o denominador ( n=3):
x^{3}-1=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).

Passo 4

Como ambos têm o fator (x-1), para x\neq 1 podemos simplificar a fração cancelando esse fator comum:
\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1} =\frac{(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}{(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)} =\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1},\qquad (x\neq 1).
Justificativa da cancelamento: ao calcular limite \lim_{x\to 1} estamos interessados em valores de x próximos de 1 mas diferentes de 1, então a simplificação é válida nesse vizinho de 1.

Passo 5

Agora usamos que polinômios são funções contínuas: para a função racional reduzida acima, se o denominador no ponto x=1 é diferente de zero, podemos simplesmente substituir x=1 para obter o limite.
Calcule o valor substituindo x=1:
\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1}\bigg|_{x=1} =\frac{1^{3}+1^{2}+1+1}{1^{2}+1+1} =\frac{1+1+1+1}{1+1+1} =\frac{4}{3}.

Passo 6

Portanto o limite existe e vale \dfrac{4}{3}. Pequena verificação mental: fazia sentido porque após cancelar o fator que causava a indeterminação restou uma função bem comportada em x=1.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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