Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
A expressão é uma fração de polinômios em x.
Se eu substituir x=1 diretamente, tanto o numerador quanto o denominador valem zero:1^{4}-1=0,\qquad 1^{3}-1=0,então a forma é indeterminada do tipo \frac{0}{0}. Não podemos usar a regra de L’Hôpital (o enunciado proibiu), então precisamos manipular algebricamente para remover a indeterminação.
Passo 2
Conceito útil: fatoração de diferença de potências.
Para todo inteiro n\ge 1 vale a identidade (fórmula da soma geométrica):
Justificativa da cancelamento: ao calcular limite \lim_{x\to 1} estamos interessados em valores de x próximos de 1 mas diferentes de 1, então a simplificação é válida nesse vizinho de 1.
Passo 5
Agora usamos que polinômios são funções contínuas: para a função racional reduzida acima, se o denominador no ponto x=1 é diferente de zero, podemos simplesmente substituir x=1 para obter o limite.
Portanto o limite existe e vale \dfrac{4}{3}. Pequena verificação mental: fazia sentido porque após cancelar o fator que causava a indeterminação restou uma função bem comportada em x=1.