Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}-1}

Passo 1

O problema pede o limite quando x tende a 1 da função
\frac{x\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}-1}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Queremos \lim_{x\to1}\dfrac{x(x^{2}-1)}{x^{2}-1}.
  • Note que, se substituirmos x=1 diretamente, tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero, ou seja, obtemos uma forma indeterminada 0/0. Isso indica que é preciso manipular a expressão antes de tentar a substituição direta.

Passo 2

Uma identidade algébrica útil aqui é a fatoração da diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Explicando rapidinho: a expressão a^{2}-b^{2} sempre fatoriza como (a-b)(a+b). Aplicando com a=x e b=1 obtemos a fatoração acima. Essa fatoração vai nos permitir simplificar a fração.

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão dada temos
\frac{x\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}-1} = \frac{x\bigl((x-1)(x+1)\bigr)}{(x-1)(x+1)}.
Agora, para x diferente de 1 e de -1 os fatores (x-1) e (x+1) não são zero, então podemos cancelar (x-1)(x+1) no numerador e no denominador. Após o cancelamento obtemos, para x\neq\pm1,
\frac{x\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}-1}=x.

Passo 4

A razão pela qual esse cancelamento é válido para o cálculo do limite é que o limite só se preocupa com valores de x arbitrariamente próximos de 1, mas não necessariamente com o valor exatamente em 1. Assim, no entorno de x=1 (excluindo x=1 em si) a função coincide com a função mais simples g(x)=x.

Passo 5

A função g(x)=x é contínua em todo ponto, em particular em x=1. Uma propriedade importante dos limites é: se f(x)=g(x) para todos os x em algum intervalo que contém 1, exceto possivelmente em x=1, e g é contínua em 1, então
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1} g(x)=g(1).
Então
\lim_{x\to1}\frac{x\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}-1} = \lim_{x\to1} x =1.

Resposta

1

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