Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital.
Passo 1
O problema pede o limite quando
tende a
da função
Informações relevantes do enunciado:
- Queremos
. - Note que, se substituirmos
diretamente, tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero, ou seja, obtemos uma forma indeterminada . Isso indica que é preciso manipular a expressão antes de tentar a substituição direta.
Passo 2
Uma identidade algébrica útil aqui é a fatoração da diferença de quadrados:
Explicando rapidinho: a expressão
sempre fatoriza como
. Aplicando com
e
obtemos a fatoração acima. Essa fatoração vai nos permitir simplificar a fração.
Passo 3
Substituindo a fatoração na expressão dada temos
Agora, para
diferente de
e de
os fatores
e
não são zero, então podemos cancelar
no numerador e no denominador. Após o cancelamento obtemos, para
,
Passo 4
A razão pela qual esse cancelamento é válido para o cálculo do limite é que o limite só se preocupa com valores de
arbitrariamente próximos de
, mas não necessariamente com o valor exatamente em
. Assim, no entorno de
(excluindo
em si) a função coincide com a função mais simples
.
Passo 5
A função
é contínua em todo ponto, em particular em
. Uma propriedade importante dos limites é: se
para todos os
em algum intervalo que contém
, exceto possivelmente em
, e
é contínua em
, então
Então