Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{t g^{2} x+\operatorname{tg} x}-\operatorname{tg} x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\bigl(\sqrt{\tan^{2}x+\tan x}-\tan x\bigr).
Informações e observações dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \sqrt{\tan^{2}x+\tan x}-\tan x.
  • A função \tan x tem assimptota vertical em x=\frac{\pi}{2}; ao nos aproximarmos de \frac{\pi}{2} pela esquerda e pela direita, \tan x tende a sinais opostos (veremos isso com detalhe).
  • O enunciado não menciona a regra de L’Hôpital, portanto não a usaremos.

Passo 2

Entender o comportamento de \tan x perto de x=\frac{\pi}{2}. Use que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • Para x\to\frac{\pi}{2}^{-} (pela esquerda): \sin x\to 1 e \cos x\to 0^{+}, logo \tan x\to +\infty.
  • Para x\to\frac{\pi}{2}^{+} (pela direita): \sin x\to 1 e \cos x\to 0^{-}, logo \tan x\to -\infty.
    Portanto devemos analisar os limites laterais separadamente: x\to\frac{\pi}{2}^{-} (onde \tan x\to +\infty) e x\to\frac{\pi}{2}^{+} (onde \tan x\to -\infty).

Passo 3

Fazer uma mudança de variável para simplificar: defina t=\tan x. Então, quando x\to\frac{\pi}{2}^{\pm}, t\to\pm\infty conforme explicado. A expressão em termos de t é
\sqrt{t^{2}+t}-t.
Esse tipo de expressão tem aparência de indeterminação do tipo \infty-\infty quando t\to\pm\infty. Um truque clássico e totalmente elementar é racionalizar usando o conjugado: multiplicar e dividir por \sqrt{t^{2}+t}+t. Assim,
\sqrt{t^{2}+t}-t = \frac{\bigl(\sqrt{t^{2}+t}-t\bigr)\bigl(\sqrt{t^{2}+t}+t\bigr)}{\sqrt{t^{2}+t}+t} = \frac{t^{2}+t-t^{2}}{\sqrt{t^{2}+t}+t} = \frac{t}{\sqrt{t^{2}+t}+t}.
Esta forma é muito mais manejável para estudar o limite quando t\to\pm\infty.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda: x\to\frac{\pi}{2}^{-}\Rightarrow t=\tan x\to +\infty.
Partindo da expressão racionalizada,
\frac{t}{\sqrt{t^{2}+t}+t},
divida numerador e denominador por t (válido para t\neq 0). Obtenha
\frac{t}{\sqrt{t^{2}+t}+t} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{t}}+1}.
Agora faça t\to +\infty. Como \tfrac{1}{t}\to 0, tem-se \sqrt{1+\tfrac{1}{t}}\to 1. Portanto
\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{t}}+1} = \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Logo
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\bigl(\sqrt{\tan^{2}x+\tan x}-\tan x\bigr)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular o limite pela direita: x\to\frac{\pi}{2}^{+}\Rightarrow t=\tan x\to -\infty.
Voltando à expressão racionalizada,
\frac{t}{\sqrt{t^{2}+t}+t}.
Para tratar \sqrt{t^{2}+t} com t negativo grande, use \sqrt{t^{2}+t}=|t|\sqrt{1+\tfrac{1}{t}}. Quando t\to -\infty temos |t|=-t, então
\sqrt{t^{2}+t}+t = -t\sqrt{1+\tfrac{1}{t}}+t = t\bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{1}{t}}\bigr).
Assim
\frac{t}{\sqrt{t^{2}+t}+t} = \frac{t}{t\bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{1}{t}}\bigr)} = \frac{1}{1-\sqrt{1+\tfrac{1}{t}}}.
Agora avalie o limite quando t\to -\infty. Note que \tfrac{1}{t}\to 0, logo \sqrt{1+\tfrac{1}{t}}\to 1. O denominador tende a 1-1=0. Para determinar o sinal e se o quociente diverge para +\infty ou -\infty, faça uma expansão simples: para |t| grande,
\sqrt{1+\tfrac{1}{t}} = 1 + \frac{1}{2t} + o\!\left(\tfrac{1}{t}\right).
Quando t\to -\infty, \tfrac{1}{2t} é negativo e pequeno, então
1-\sqrt{1+\tfrac{1}{t}} \approx -\frac{1}{2t}.
Como t é negativo, -\frac{1}{2t} é positivo e tende a 0^{+}. Portanto the fraction
\frac{1}{1-\sqrt{1+\tfrac{1}{t}}}
tende para +\infty. Concluímos
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{+}}\bigl(\sqrt{\tan^{2}x+\tan x}-\tan x\bigr)=+\infty.

Passo 6

Conclusão sobre o limite bilateral: as duas limites laterais são diferentes (pela esquerda é \tfrac{1}{2}, pela direita diverge para +\infty). Logo o limite quando x\to\frac{\pi}{2} (sem especificar lado) não existe. Se for preciso um resultado útil para provas: normalmente considera-se o limite à esquerda e anota-se \tfrac{1}{2}, pois a expressão se comporta bem ao aproximar-se de \frac{\pi}{2} por valores menores.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\bigl(\sqrt{\tan^{2}x+\tan x}-\tan x\bigr)=\tfrac{1}{2}\
\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{+}}\bigl(\sqrt{\tan^{2}x+\tan x}-\tan x\bigr)=+\infty\
O limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\bigl(\sqrt{\tan^{2}x+\tan x}-\tan x\bigr) não existe.

Exercícios relacionados