Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e observações dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - A função
tem assimptota vertical em ; ao nos aproximarmos de pela esquerda e pela direita, tende a sinais opostos (veremos isso com detalhe). - O enunciado não menciona a regra de L’Hôpital, portanto não a usaremos.
Passo 2
Entender o comportamento de
perto de
. Use que
.
- Para
(pela esquerda): e , logo . - Para
(pela direita): e , logo .
Portanto devemos analisar os limites laterais separadamente:(onde ) e (onde ).
Passo 3
Fazer uma mudança de variável para simplificar: defina
. Então, quando
,
conforme explicado. A expressão em termos de
é
Esse tipo de expressão tem aparência de indeterminação do tipo
quando
. Um truque clássico e totalmente elementar é racionalizar usando o conjugado: multiplicar e dividir por
. Assim,
Esta forma é muito mais manejável para estudar o limite quando
.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda:
.
Partindo da expressão racionalizada,
divida numerador e denominador por
(válido para
). Obtenha
Agora faça
. Como
, tem-se
. Portanto
Logo
Passo 5
Calcular o limite pela direita:
.
Voltando à expressão racionalizada,
Para tratar
com
negativo grande, use
. Quando
temos
, então
Assim
Agora avalie o limite quando
. Note que
, logo
. O denominador tende a
. Para determinar o sinal e se o quociente diverge para
ou
, faça uma expansão simples: para
grande,
Quando
,
é negativo e pequeno, então
Como
é negativo,
é positivo e tende a
. Portanto the fraction
tende para
. Concluímos
Passo 6
Conclusão sobre o limite bilateral: as duas limites laterais são diferentes (pela esquerda é
, pela direita diverge para
). Logo o limite quando
(sem especificar lado) não existe. Se for preciso um resultado útil para provas: normalmente considera-se o limite à esquerda e anota-se
, pois a expressão se comporta bem ao aproximar-se de
por valores menores.
Resposta
O limite bilateral