Derive implicitamente:
\frac{x}{\sqrt{y}}-4 x y=x

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
\frac{x}{\sqrt{y}}-4xy=x.
O que a questão pede: determinar \dfrac{dy}{dx} (ou seja, a derivada de y em relação a x) a partir dessa equação — y é considerada função de x, mas não está isolada.

Passo 2

Antes de derivar, é conveniente reescrever a equação usando potências para facilitar a diferenciação:
\frac{x}{\sqrt{y}}-4xy=x \quad\Longleftrightarrow\quad x\,y^{-1/2}-4xy=x.
Aqui escrevi \sqrt{y}=y^{1/2}, então 1/\sqrt{y}=y^{-1/2}. Isso deixa claro que temos produtos envolvendo x e expressões de y.

Passo 3

Agora vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Lembretes das regras que usaremos:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'.
  • Regra da cadeia: se y=y(x) e temos y^n, então \dfrac{d}{dx}[y^n]=n y^{n-1}\dfrac{dy}{dx}.
    Aplicando essas regras porque y depende de x.

Passo 4

Derivamos termo a termo.
Para \;x\,y^{-1/2}\; (produto de x e y^{-1/2}):
  • derivada de x é 1;
  • derivada de y^{-1/2} usando regra da cadeia é -\tfrac{1}{2}y^{-3/2}\dfrac{dy}{dx}.
    Portanto
\frac{d}{dx}\big(x\,y^{-1/2}\big)=1\cdot y^{-1/2}+x\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}y^{-3/2}\dfrac{dy}{dx}\Big) = y^{-1/2}-\tfrac{1}{2}x y^{-3/2}\dfrac{dy}{dx}.

Passo 5

Para -4xy (produto de -4x e y):
  • derivada de -4x é -4;
  • derivada de y é \dfrac{dy}{dx}.
    Assim,
\frac{d}{dx}\big(-4xy\big)=-4\cdot y + (-4x)\cdot \dfrac{dy}{dx} = -4y -4x\dfrac{dy}{dx}.

Passo 6

Para o lado direito x, a derivada é 1:
\frac{d}{dx}[x]=1.

Passo 7

Reunindo as derivadas de todos os termos (da equação original diferenciada), obtemos:
\big(y^{-1/2}-\tfrac{1}{2}x y^{-3/2}\dfrac{dy}{dx}\big) + \big(-4y -4x\dfrac{dy}{dx}\big)=1.
Agora vamos agrupar os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} e os que não contêm.

Passo 8

Colocando os termos com \dfrac{dy}{dx} juntos:
-\tfrac{1}{2}x y^{-3/2}\dfrac{dy}{dx} -4x\dfrac{dy}{dx} + y^{-1/2}-4y = 1.
Mover os termos sem \dfrac{dy}{dx} para o outro lado:
\Big(-\tfrac{1}{2}x y^{-3/2} -4x\Big)\dfrac{dy}{dx} = 1 - y^{-1/2} +4y.

Passo 9

Isolando \dfrac{dy}{dx} divide-se pelo coeficiente frente a ela:
\dfrac{dy}{dx}=\frac{1 - y^{-1/2} +4y}{-\tfrac{1}{2}x y^{-3/2} -4x}.
Podemos simplificar o sinal do denominador multiplicando numerador e denominador por -1:
\dfrac{dy}{dx}=\frac{-1 + y^{-1/2} -4y}{\tfrac{1}{2}x y^{-3/2} +4x}.
E fatorando x no denominador:
\dfrac{dy}{dx}=\frac{-1 + y^{-1/2} -4y}{x\big(\tfrac{1}{2}y^{-3/2} +4\big)}.

Passo 10

Se quiser uma forma sem potências negativas, pode multiplicar numerador e denominador por 2y^{3/2}. Fazendo isso:
  • numerador vira 2y -2y^{3/2} -8y^{5/2},
  • denominador vira x\,(1+8y^{3/2}).
    Portanto outra forma equivalente é
\dfrac{dy}{dx}=\frac{2y -2y^{3/2} -8y^{5/2}}{x\big(1+8y^{3/2}\big)}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-1 + y^{-1/2} -4y}{x\big(\tfrac{1}{2}y^{-3/2} +4\big)}

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