Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
O que a questão pede: determinar
(ou seja, a derivada de
em relação a
) a partir dessa equação —
é considerada função de
, mas não está isolada.
Passo 2
Antes de derivar, é conveniente reescrever a equação usando potências para facilitar a diferenciação:
Aqui escrevi
, então
. Isso deixa claro que temos produtos envolvendo
e expressões de
.
Passo 3
Agora vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Lembretes das regras que usaremos:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia: se
e temos , então .
Aplicando essas regras porquedepende de .
Passo 4
Derivamos termo a termo.
Para
(produto de
e
):
- derivada de
é ; - derivada de
usando regra da cadeia é .
Portanto
Passo 5
Para
(produto de
e
):
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Assim,
Passo 6
Para o lado direito
, a derivada é
:
Passo 7
Reunindo as derivadas de todos os termos (da equação original diferenciada), obtemos:
Agora vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm.
Passo 8
Colocando os termos com
juntos:
Mover os termos sem
para o outro lado:
Passo 9
Isolando
divide-se pelo coeficiente frente a ela:
Podemos simplificar o sinal do denominador multiplicando numerador e denominador por
:
E fatorando
no denominador:
Passo 10
Se quiser uma forma sem potências negativas, pode multiplicar numerador e denominador por
. Fazendo isso:
- numerador vira
, - denominador vira
.
Portanto outra forma equivalente é