Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - O ponto onde
tende é . - Não devemos usar a regra de L’Hôspital.
- Precisamos encontrar o valor numérico do limite.
Passo 2
Verifico a substituição direta para identificar a indeterminação:
logo o numerador tende a
e o denominador tende a
. Portanto temos uma forma indeterminada do tipo
. Isso mostra que precisamos manipular a expressão antes de calcular o limite.
Passo 3
Faço a mudança de variável padrão para esse tipo de expressão. Defino
Quando
temos
. Em termos de
o numerador fica
. Vou reescrever a expressão original usando
, mas preciso também expressar o denominador
em termos de
.
Passo 4
Uso uma fatoração simples em
:
Daí obtenho
Multiplicando e dividindo por
(assumindo
) obtemos
Como
, temos
Portanto a expressão fica
Passo 5
Agora analiso o limite usando a expressão obtida. Como
corresponde a
, o limite pedido é
desde que cada limite exista e possamos usar a regra do produto de limites. A segunda parte é fácil porque
é contínua em
, então
Fica então necessário encontrar
.
Passo 6
Explico e demonstro o limite fundamental
Prova clássica (teorema do confronto / squeeze), para
medido em radianos. Para
vale geometricamente (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas)
Dividindo tudo por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Invertendo as desigualdades (mantendo as relações porque tudo é positivo) obtemos
Agora, fazendo
, sabemos que
. Pelo teorema do confronto segue que
Como a função
é par (isto é,
), o limite pela esquerda coincide, e portanto
(Observação: usei a forma trigonométrica clássica; se preferir, há outras demonstrações, mas essa é a mais utilizada e aceita em provas.)
Passo 7
Voltando ao limite que queremos, juntando os resultados:
Passo 8
Conclusão final: o valor do limite é
.