Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
\lim _{y \rightarrow 3} \frac{\operatorname{sen}\left(y^{2}-9\right)}{y-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{y\to 3} \frac{\operatorname{sen}\bigl(y^{2}-9\bigr)}{y-3}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \operatorname{sen}\bigl(y^{2}-9\bigr).
  • O ponto onde y tende é y=3.
  • Não devemos usar a regra de L’Hôspital.
  • Precisamos encontrar o valor numérico do limite.

Passo 2

Verifico a substituição direta para identificar a indeterminação:
y\to 3 \quad\Rightarrow\quad y^{2}-9 \to 9-9=0,
logo o numerador tende a \operatorname{sen}(0)=0 e o denominador tende a 3-3=0. Portanto temos uma forma indeterminada do tipo \frac{0}{0}. Isso mostra que precisamos manipular a expressão antes de calcular o limite.

Passo 3

Faço a mudança de variável padrão para esse tipo de expressão. Defino
t = y^{2}-9.
Quando y\to 3 temos t\to 0. Em termos de t o numerador fica \operatorname{sen}(t). Vou reescrever a expressão original usando t, mas preciso também expressar o denominador y-3 em termos de t.

Passo 4

Uso uma fatoração simples em y^{2}-9:
t = y^{2}-9 = (y-3)(y+3).
Daí obtenho
\frac{\operatorname{sen}\bigl(y^{2}-9\bigr)}{y-3} = \frac{\operatorname{sen}(t)}{y-3}.
Multiplicando e dividindo por t (assumindo t\neq 0) obtemos
\frac{\operatorname{sen}(t)}{y-3} = \frac{\operatorname{sen}(t)}{t}\cdot\frac{t}{y-3}.
Como t=(y-3)(y+3), temos
\frac{t}{y-3}=y+3.
Portanto a expressão fica
\frac{\operatorname{sen}\bigl(y^{2}-9\bigr)}{y-3} = \frac{\operatorname{sen}(t)}{t}\,(y+3).

Passo 5

Agora analiso o limite usando a expressão obtida. Como y\to 3 corresponde a t\to 0, o limite pedido é
\lim_{y\to 3}\frac{\operatorname{sen}\bigl(y^{2}-9\bigr)}{y-3} = \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}\cdot\lim_{y\to 3}(y+3),
desde que cada limite exista e possamos usar a regra do produto de limites. A segunda parte é fácil porque y+3 é contínua em y=3, então
\lim_{y\to 3}(y+3)=3+3=6.
Fica então necessário encontrar \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}.

Passo 6

Explico e demonstro o limite fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Prova clássica (teorema do confronto / squeeze), para t medido em radianos. Para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale geometricamente (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas)
\sin t < t < \tan t.
Dividindo tudo por \sin t (positivo nesse intervalo) obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Invertendo as desigualdades (mantendo as relações porque tudo é positivo) obtemos
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Agora, fazendo t\to 0^{+}, sabemos que \cos t \to 1. Pelo teorema do confronto segue que
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\sin t}{t}=1.
Como a função \frac{\sin t}{t} é par (isto é, \frac{\sin(-t)}{-t}=\frac{\sin t}{t}), o limite pela esquerda coincide, e portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
(Observação: usei a forma trigonométrica clássica; se preferir, há outras demonstrações, mas essa é a mais utilizada e aceita em provas.)

Passo 7

Voltando ao limite que queremos, juntando os resultados:
\lim_{y\to 3}\frac{\operatorname{sen}\bigl(y^{2}-9\bigr)}{y-3} = \biggl(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\biggr)\cdot\biggl(\lim_{y\to 3}(y+3)\biggr) = 1\cdot 6 = 6.

Passo 8

Conclusão final: o valor do limite é 6.

Resposta

6

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