Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas/observações iniciais:
- A expressão é uma fração cujo numerador é
e o denominador é . - O ponto onde calculamos o limite é
. - Precisamos calcular esse limite sem usar a regra de L’Hôspital.
Passo 2
Primeiro verifiquemos o valor das partes no ponto
para identificar o tipo de indeterminação:
e
Logo a forma é
, uma indeterminação. Isso diz que precisamos manipular algebricamente a expressão para simplificá‑la antes de avaliar o limite.
Passo 3
Vamos usar uma identidade trigonométrica clássica para transformar o numerador. A identidade é
Explico:
significa
e
significa
. Essa identidade vem das fórmulas de dobro de ângulo.
Passo 4
A diferença de quadrados
pode ser fatorada como produto:
Portanto podemos reescrever a expressão do limite como
Passo 5
Onde
podemos cancelar o fator comum
, obtendo para
próximo de
(mas diferente de
):
Observação didática: é permitido cancelar porque estamos interessados no limite quando
se aproxima de
, não no valor da função exatamente em
. Dois funções que coincidem em todo um entorno puncturado do ponto (iguais para
) têm o mesmo limite no ponto.
Passo 6
Como
e
são funções contínuas, a soma
também é contínua. Portanto o limite da soma é o valor da soma no ponto:
Calculando: