Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)-\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(2x)}{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}.
Informações dadas/observações iniciais:
  • A expressão é uma fração cujo numerador é \cos(2x) e o denominador é \cos(x)-\operatorname{sen}(x).
  • O ponto onde calculamos o limite é x=\frac{\pi}{4}.
  • Precisamos calcular esse limite sem usar a regra de L’Hôspital.

Passo 2

Primeiro verifiquemos o valor das partes no ponto x=\frac{\pi}{4} para identificar o tipo de indeterminação:
\cos\!\bigl(2\cdot\frac{\pi}{4}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,
e
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0.
Logo a forma é 0/0, uma indeterminação. Isso diz que precisamos manipular algebricamente a expressão para simplificá‑la antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos usar uma identidade trigonométrica clássica para transformar o numerador. A identidade é
\cos(2x)=\cos^2 x-\operatorname{sen}^2 x.
Explico: \cos^2 x significa (\cos x)^2 e \operatorname{sen}^2 x significa (\operatorname{sen} x)^2. Essa identidade vem das fórmulas de dobro de ângulo.

Passo 4

A diferença de quadrados \cos^2 x-\operatorname{sen}^2 x pode ser fatorada como produto:
\cos^2 x-\operatorname{sen}^2 x=(\cos x-\operatorname{sen} x)(\cos x+\operatorname{sen} x).
Portanto podemos reescrever a expressão do limite como
\frac{\cos(2x)}{\cos x-\operatorname{sen} x} = \frac{(\cos x-\operatorname{sen} x)(\cos x+\operatorname{sen} x)}{\cos x-\operatorname{sen} x}.

Passo 5

Onde \cos x-\operatorname{sen} x\neq 0 podemos cancelar o fator comum \cos x-\operatorname{sen} x, obtendo para x próximo de \tfrac{\pi}{4} (mas diferente de \tfrac{\pi}{4}):
\frac{\cos(2x)}{\cos x-\operatorname{sen} x}=\cos x+\operatorname{sen} x.
Observação didática: é permitido cancelar porque estamos interessados no limite quando x se aproxima de \tfrac{\pi}{4}, não no valor da função exatamente em \tfrac{\pi}{4}. Dois funções que coincidem em todo um entorno puncturado do ponto (iguais para x\neq \tfrac{\pi}{4}) têm o mesmo limite no ponto.

Passo 6

Como \cos x e \operatorname{sen} x são funções contínuas, a soma \cos x+\operatorname{sen} x também é contínua. Portanto o limite da soma é o valor da soma no ponto:
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\bigl(\cos x+\operatorname{sen} x\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)+\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Calculando:
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)+\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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