Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{e^{x}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{sen}^2(x)}{e^{x}+1}.
As informações dadas são a expressão do numerador \operatorname{sen}^2(x) e do denominador e^{x}+1. Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar uma propriedade simples e útil do seno: para todo x vale
-1\le \operatorname{sen}(x)\le 1.
Elevando tudo ao quadrado (notando que a operação de elevar ao quadrado preserva a desigualdade entre números não negativos), obtemos
0\le \operatorname{sen}^2(x)\le 1.
Explicação didática: a função \operatorname{sen}(x) oscila entre -1 e 1. Como \operatorname{sen}^2(x) é sempre não negativa e nunca excede 1, podemos usar esse fato para controlar o numerador.

Passo 3

Observe que para todo x temos e^{x}+1>0. Como estamos dividindo uma desigualdade por um número positivo, podemos dividir a desigualdade do passo anterior termo a termo pelo denominador sem inverter sinais:
0 \le \frac{\operatorname{sen}^2(x)}{e^{x}+1} \le \frac{1}{e^{x}+1}.
Explicação didática: ao dividir por e^{x}+1 (positivo) mantemos a ordem das desigualdades; assim a função que interessa fica “presa” entre 0 e \frac{1}{e^{x}+1}.

Passo 4

Agora simplificamos ainda mais a desigualdade superior. Para todo x vale e^{x}+1\ge e^{x}, portanto
\frac{1}{e^{x}+1}\le \frac{1}{e^{x}}.
Combinando com a desigualdade do passo anterior obtemos uma cadeia útil:
0 \le \frac{\operatorname{sen}^2(x)}{e^{x}+1} \le \frac{1}{e^{x}}.
Explicação didática: trocar e^{x}+1 por e^{x} no denominador dá um limite superior maior (ou igual), que é mais simples de analisar.

Passo 5

Agora analisamos o limite do extremo superior \frac{1}{e^{x}} quando x\to\infty. É um fato básico sobre exponenciais que
\lim_{x\to\infty} e^{x} = \infty,
ou seja, e^{x} cresce sem limite quando x cresce. Logo a recíproca tende a zero:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}} = 0.
Explicação didática: intuitivamente, e^{x} cresce muito rápido, então 1/e^{x} fica cada vez menor; formalmente, para qualquer \varepsilon>0 existe X tal que e^{X}>1/\varepsilon, daí para x>X temos 1/e^{x}<\varepsilon, que é a definição de convergência para zero.

Passo 6

Aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Temos, para todo x suficientemente grande,
0 \le \frac{\operatorname{sen}^2(x)}{e^{x}+1} \le \frac{1}{e^{x}},
e já vimos que os limites das funções-limite inferiores e superiores quando x\to\infty são ambos iguais a 0. Pelo Teorema do Confronto, a função do meio tem também limite 0:
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{sen}^2(x)}{e^{x}+1} = 0.
Explicação didática: o Teorema do Confronto diz que se f(x)\le g(x)\le h(x) para todo x em algum intervalo e \lim f=\lim h=L, então \lim g=L. Aqui f(x)=0, g(x)=\frac{\operatorname{sen}^2(x)}{e^{x}+1} e h(x)=\frac{1}{e^{x}}.

Resposta

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