Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
As informações dadas são a expressão do numerador
e do denominador
. Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vou lembrar uma propriedade simples e útil do seno: para todo
vale
Elevando tudo ao quadrado (notando que a operação de elevar ao quadrado preserva a desigualdade entre números não negativos), obtemos
Explicação didática: a função
oscila entre
e
. Como
é sempre não negativa e nunca excede
, podemos usar esse fato para controlar o numerador.
Passo 3
Observe que para todo
temos
. Como estamos dividindo uma desigualdade por um número positivo, podemos dividir a desigualdade do passo anterior termo a termo pelo denominador sem inverter sinais:
Explicação didática: ao dividir por
(positivo) mantemos a ordem das desigualdades; assim a função que interessa fica “presa” entre
e
.
Passo 4
Agora simplificamos ainda mais a desigualdade superior. Para todo
vale
, portanto
Combinando com a desigualdade do passo anterior obtemos uma cadeia útil:
Explicação didática: trocar
por
no denominador dá um limite superior maior (ou igual), que é mais simples de analisar.
Passo 5
Agora analisamos o limite do extremo superior
quando
. É um fato básico sobre exponenciais que
ou seja,
cresce sem limite quando
cresce. Logo a recíproca tende a zero:
Explicação didática: intuitivamente,
cresce muito rápido, então
fica cada vez menor; formalmente, para qualquer
existe
tal que
, daí para
temos
, que é a definição de convergência para zero.
Passo 6
Aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Temos, para todo
suficientemente grande,
e já vimos que os limites das funções-limite inferiores e superiores quando
são ambos iguais a
. Pelo Teorema do Confronto, a função do meio tem também limite
:
Explicação didática: o Teorema do Confronto diz que se
para todo
em algum intervalo e
, então
. Aqui
,
e
.
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