Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt[3]{x^{3}+2 x+1}}{\sqrt{x^{2}+x+1}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt[3]{x^{3}+2x+1}}{\sqrt{x^{2}+x+1}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável x tende para -\infty (ou seja, valores de x são muito grandes em módulo e negativos).
  • O numerador é a raiz cúbica de x^{3}+2x+1.
  • O denominador é a raiz quadrada (principal, sempre não negativa) de x^{2}+x+1.
  • Queremos o valor numérico desse limite quando x vai para -\infty.

Passo 2

Vamos destacar os termos de maior ordem em cada polinômio para simplificar. Fatoramos a maior potência de x dentro de cada radical:
\sqrt[3]{x^{3}+2x+1} = \sqrt[3]{x^{3}\!\left(1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)}
e
\sqrt{x^{2}+x+1} = \sqrt{x^{2}\!\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}.
Explico por que isso é válido: escrever um polinômio como x^{n} vezes uma expressão que tende a 1 é uma forma padrão de ver o comportamento quando |x| é grande. Assim transformamos os radicais em produto de uma raiz do fator dominante por uma raiz da correção pequena.

Passo 3

Usamos a propriedade das raízes reais:
\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b}\quad\text{e}\quad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b},
aplicando aos fatores do passo anterior. Obtemos
\sqrt[3]{x^{3}+2x+1}=\sqrt[3]{x^{3}}\;\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}
e
\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.
Aqui é importante lembrar que, para todo x real, \sqrt[3]{x^{3}}=x (a raiz cúbica é função ímpar e devolve exatamente x), enquanto \sqrt{x^{2}}=|x| (a raiz quadrada principal devolve o valor absoluto).

Passo 4

Substituímos na fração do limite e simplificamos:
\frac{\sqrt[3]{x^{3}+2x+1}}{\sqrt{x^{2}+x+1}} = \frac{\sqrt[3]{x^{3}}\;\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}}{\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}} = \frac{x}{|x|}\cdot \frac{\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}.
Observe que a razão x/|x| é a função sinal: x/|x|=1 se x>0 e x/|x|=-1 se x<0.

Passo 5

Como estamos calculando o limite quando x\to -\infty, para x suficientemente negativo temos x<0, logo x/|x|=-1. Assim a expressão fica
\frac{\sqrt[3]{x^{3}+2x+1}}{\sqrt{x^{2}+x+1}} = -\,\frac{\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}.
Agora analisamos os dois fatores dentro das raízes: quando x\to -\infty temos \frac{2}{x^{2}}\to 0, \frac{1}{x^{3}}\to 0 e \frac{1}{x}\to 0, \frac{1}{x^{2}}\to 0. Portanto as expressões internas tendem a 1:
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)=1, \qquad \lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=1.
Como as funções \sqrt[3]{\cdot} e \sqrt{\cdot} são contínuas no ponto 1, podemos trocar limite e função:
\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}=\sqrt[3]{1}=1,
\lim_{x\to -\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt{1}=1.

Passo 6

Juntando tudo:
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{3}+2x+1}}{\sqrt{x^{2}+x+1}} = -\,\frac{1}{1}=-1.
Um jeito intuitivo de ver isso sem detalhes formais: para x muito negativo o numerador comporta-se como \sqrt[3]{x^{3}}=x e o denominador como \sqrt{x^{2}}=|x|=-x, logo a razão aproximada é x/(-x)=-1.

Resposta

-1

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