Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável
tende para (ou seja, valores de são muito grandes em módulo e negativos). - O numerador é a raiz cúbica de
. - O denominador é a raiz quadrada (principal, sempre não negativa) de
. - Queremos o valor numérico desse limite quando
vai para .
Passo 2
Vamos destacar os termos de maior ordem em cada polinômio para simplificar. Fatoramos a maior potência de
dentro de cada radical:
e
Explico por que isso é válido: escrever um polinômio como
vezes uma expressão que tende a
é uma forma padrão de ver o comportamento quando
é grande. Assim transformamos os radicais em produto de uma raiz do fator dominante por uma raiz da correção pequena.
Passo 3
Usamos a propriedade das raízes reais:
aplicando aos fatores do passo anterior. Obtemos
e
Aqui é importante lembrar que, para todo
real,
(a raiz cúbica é função ímpar e devolve exatamente
), enquanto
(a raiz quadrada principal devolve o valor absoluto).
Passo 4
Substituímos na fração do limite e simplificamos:
Observe que a razão
é a função sinal:
se
e
se
.
Passo 5
Como estamos calculando o limite quando
, para
suficientemente negativo temos
, logo
. Assim a expressão fica
Agora analisamos os dois fatores dentro das raízes: quando
temos
,
e
,
. Portanto as expressões internas tendem a
:
Como as funções
e
são contínuas no ponto
, podemos trocar limite e função:
Passo 6
Juntando tudo:
Um jeito intuitivo de ver isso sem detalhes formais: para
muito negativo o numerador comporta-se como
e o denominador como
, logo a razão aproximada é
.