Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-\sqrt{-x+6}}{x^{2}-6 x+8}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x-\sqrt{-x+6}}{x^{2}-6x+8}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é \,x-\sqrt{-x+6}\,.
  • O denominador é \,x^{2}-6x+8\,.
  • Se fizermos substituição direta x=2 obtemos no numerador 2-\sqrt{-2+6}=2-2=0 e no denominador 2^{2}-6\cdot2+8=4-12+8=0. Logo a forma é do tipo 0/0, uma indeterminação que exige manipulação algébrica para resolver o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece uma raiz no numerador e a substituição direta dá 0/0, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz. Conjugada de uma expressão do tipo a-b é a+b. A identidade básica usada é
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
pois ao multiplicar a diferença pela soma cancelam-se os termos mistos. Aqui vamos tomar a=x e b=\sqrt{-x+6}. Multiplicar por \dfrac{x+\sqrt{-x+6}}{x+\sqrt{-x+6}} não altera o valor da expressão para x diferente de onde o denominador se anula, e nos permite eliminar a raiz no numerador.

Passo 3

Aplicando a multiplicação pelo conjugado (mostrando cada passo):
\frac{x-\sqrt{-x+6}}{x^{2}-6x+8}\cdot\frac{x+\sqrt{-x+6}}{x+\sqrt{-x+6}} =\frac{(x-\sqrt{-x+6})(x+\sqrt{-x+6})}{(x^{2}-6x+8)\bigl(x+\sqrt{-x+6}\bigr)}.
No numerador usamos a identidade do passo anterior com a=x e b=\sqrt{-x+6}:
(x-\sqrt{-x+6})(x+\sqrt{-x+6})=x^{2}-\bigl(\sqrt{-x+6}\bigr)^{2}.
Como \bigl(\sqrt{-x+6}\bigr)^{2}=-x+6, segue que
x^{2}-\bigl(\sqrt{-x+6}\bigr)^{2}=x^{2}-(-x+6)=x^{2}+x-6.
Portanto a expressão fica
\frac{x^{2}+x-6}{(x^{2}-6x+8)\bigl(x+\sqrt{-x+6}\bigr)}.

Passo 4

Fatorando os polinômios para identificar cancelamentos:
  • O numerador x^{2}+x-6 fatora como
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3),
pois (x-2)(x+3)=x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6.
  • O denominador polinomial x^{2}-6x+8 fatora como
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4),
pois (x-2)(x-4)=x^{2}-4x-2x+8=x^{2}-6x+8.
Substituindo essas fatorações temos
\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x-4)\bigl(x+\sqrt{-x+6}\bigr)}.

Passo 5

Cancelamento do fator comum: como estamos calculando um limite quando x\to 2, consideramos valores de x próximos de 2 mas diferentes de 2. Para x\neq 2 podemos cancelar o fator (x-2) nos numerador e denominador sem alterar a função nos pontos em que ela está definida. Após o cancelamento obtemos a função simplificada
\frac{x+3}{(x-4)\bigl(x+\sqrt{-x+6}\bigr)}.
Essa nova expressão coincide com a original para todo x próximo de 2 exceto em x=2 onde a original não está definida; porém os limites são calculados por aproximação, então essa simplificação é válida para encontrar o limite.

Passo 6

Agora que a indeterminação foi removida, podemos avaliar o limite por substituição direta na expressão simplificada. Primeiro calcule a parte com raiz quando x=2:
\sqrt{-x+6}\Big|_{x=2}=\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2.
Substituindo x=2 em cada fator da expressão simplificada:
  • Numerador: x+3\big|_{x=2}=2+3=5.
  • Fator x-4: 2-4=-2.
  • Fator x+\sqrt{-x+6}: 2+2=4.
Portanto o valor do quociente é
\frac{5}{(-2)\cdot 4}=\frac{5}{-8}=-\frac{5}{8}.

Passo 7

Interpretação final: a manipulação por conjugado eliminou a raiz e permitiu fatorar e cancelar o fator que gerava a indeterminação. A expressão simplificada é contínua em x=2, então o limite é o valor obtido por substituição direta.

Resposta

-\tfrac{5}{8}

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