Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\sqrt{2}} \frac{x^{2}-2}{x+\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\sqrt{2}} \frac{x^{2}-2}{x+\sqrt{2}}.
Informações dadas:
  • A função do numerador é x^{2}-2 e do denominador é x+\sqrt{2}.
  • Se eu substituir x=-\sqrt{2} diretamente, tanto o numerador quanto o denominador viram zero, ou seja, obtém-se a forma 0/0, que é uma indeterminação — isso indica que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Quando uma expressão racional dá 0/0 ao substituir o ponto, a estratégia clássica é simplificar a expressão algébrica — normalmente fatorando o numerador ou o denominador — para cancelar o fator que causa a indeterminação. Vou recordar uma identidade útil:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos ver x^{2}-2 como uma diferença de quadrados, porque 2=(\sqrt{2})^{2}.

Passo 3

Aplicando a identidade com a=x e b=\sqrt{2}, fatoramos o numerador:
x^{2}-2 = x^{2}-(\sqrt{2})^{2} = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).
Portanto a fração original pode ser escrita, para x\neq -\sqrt{2}, como
\frac{x^{2}-2}{x+\sqrt{2}} = \frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x+\sqrt{2}}.

Passo 4

Como estamos interessados no limite quando x se aproxima de -\sqrt{2} (e não no valor exatamente em x=-\sqrt{2}), podemos cancelar o fator comum x+\sqrt{2} nas expressões para todo x próximo de -\sqrt{2} com x\neq -\sqrt{2}. Assim obtemos a expressão simplificada, equivalente à original em todo ponto próximo:
\frac{x^{2}-2}{x+\sqrt{2}} = x-\sqrt{2}\quad\text{(para }x\neq -\sqrt{2}\text{)}.
Essa simplificação resolve a indeterminação.

Passo 5

A função x-\sqrt{2} é polinomial (logo contínua) em todo ponto, portanto o limite quando x\to -\sqrt{2} é simplesmente o valor da função nesse ponto. Substituindo x=-\sqrt{2} em x-\sqrt{2} temos
(-\sqrt{2})-\sqrt{2} = -2\sqrt{2}.

Resposta

-2\sqrt{2}

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