Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função do numerador é
e do denominador é . - Se eu substituir
diretamente, tanto o numerador quanto o denominador viram zero, ou seja, obtém-se a forma , que é uma indeterminação — isso indica que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Quando uma expressão racional dá
ao substituir o ponto, a estratégia clássica é simplificar a expressão algébrica — normalmente fatorando o numerador ou o denominador — para cancelar o fator que causa a indeterminação. Vou recordar uma identidade útil:
Aqui podemos ver
como uma diferença de quadrados, porque
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
, fatoramos o numerador:
Portanto a fração original pode ser escrita, para
, como
Passo 4
Como estamos interessados no limite quando
se aproxima de
(e não no valor exatamente em
), podemos cancelar o fator comum
nas expressões para todo
próximo de
com
. Assim obtemos a expressão simplificada, equivalente à original em todo ponto próximo:
Essa simplificação resolve a indeterminação.
Passo 5
A função
é polinomial (logo contínua) em todo ponto, portanto o limite quando
é simplesmente o valor da função nesse ponto. Substituindo
em
temos