Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função que aparece é a tangente
(ou ). - O ponto de aproximação é
pela esquerda (ou seja, se aproximando). - Perto de
a tangente tem assíntota vertical; ao nos aproximarmos de pela esquerda a tangente tende a . (Podemos checar isso qualitativamente: para pouco menor que temos muito pequeno e negativo e aproximadamente , logo é grande e positivo.) - A expressão a estudar é do tipo
com a variável crescendo sem limite.
Passo 2
Vamos fazer uma substituição para simplificar a aparência do limite. Defina
Quando
temos, como dito,
. Portanto o limite em
transforma-se no limite equivalente em
:
Passo 3
Agora foquemos no limite em
:
Para lidar com expressões do tipo
é útil racionalizar usando o conjugado. Multiplicamos e dividimos por
.
Passo 4
Racionalizando:
Passo 5
Agora simplificamos a raiz no denominador fatorando
dentro da raiz:
Como aqui
(ou seja,
suficientemente grande), temos
. Substituindo no quociente:
Passo 6
Tomamos o limite quando
. Note que
, logo
. Portanto
Passo 7
Portanto o limite original também vale
. Comentário didático rápido: a técnica de multiplicar pelo conjugado é muito útil para eliminar diferenças envolvendo raízes. Um caso geral semelhante é
obtido exatamente pelo mesmo procedimento (racionalizar e dividir por
).