Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow-\frac{\pi}{2}^{-}} \sqrt{\operatorname{tg}^{2}(x)+\operatorname{tg}(x)}-\operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}^{-}} \sqrt{\operatorname{tg}^{2}(x)+\operatorname{tg}(x)}-\operatorname{tg}(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função que aparece é a tangente \operatorname{tg}(x) (ou \tan(x)).
  • O ponto de aproximação é x\to -\frac{\pi}{2} pela esquerda (ou seja, x<-\frac{\pi}{2} se aproximando).
  • Perto de x=-\frac{\pi}{2} a tangente tem assíntota vertical; ao nos aproximarmos de x=-\frac{\pi}{2} pela esquerda a tangente tende a +\infty. (Podemos checar isso qualitativamente: para x pouco menor que -\frac{\pi}{2} temos \cos x muito pequeno e negativo e \sin x aproximadamente -1, logo \tan x=\sin x/\cos x é grande e positivo.)
  • A expressão a estudar é do tipo \sqrt{(\cdot)^2+(\cdot)}-(\cdot) com a variável \operatorname{tg}(x) crescendo sem limite.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a aparência do limite. Defina
t=\operatorname{tg}(x).
Quando x\to -\frac{\pi}{2}^{-} temos, como dito, t\to +\infty. Portanto o limite em x transforma-se no limite equivalente em t:
\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}^{-}} \sqrt{\operatorname{tg}^{2}(x)+\operatorname{tg}(x)}-\operatorname{tg}(x) = \lim_{t\to +\infty} \sqrt{t^{2}+t}-t.

Passo 3

Agora foquemos no limite em t:
\lim_{t\to +\infty} \big(\sqrt{t^{2}+t}-t\big).
Para lidar com expressões do tipo \sqrt{t^{2}+t}-t é útil racionalizar usando o conjugado. Multiplicamos e dividimos por \sqrt{t^{2}+t}+t.

Passo 4

Racionalizando:
\sqrt{t^{2}+t}-t = \frac{\big(\sqrt{t^{2}+t}-t\big)\big(\sqrt{t^{2}+t}+t\big)}{\sqrt{t^{2}+t}+t} = \frac{t^{2}+t-t^{2}}{\sqrt{t^{2}+t}+t} = \frac{t}{\sqrt{t^{2}+t}+t}.

Passo 5

Agora simplificamos a raiz no denominador fatorando t^{2} dentro da raiz:
\sqrt{t^{2}+t}=\sqrt{t^{2}\!\left(1+\frac{1}{t}\right)}=|t|\sqrt{1+\frac{1}{t}}.
Como aqui t\to +\infty (ou seja, t>0 suficientemente grande), temos |t|=t. Substituindo no quociente:
\frac{t}{\sqrt{t^{2}+t}+t} = \frac{t}{t\sqrt{1+\frac{1}{t}}+t} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{t}}+1}.

Passo 6

Tomamos o limite quando t\to+\infty. Note que \frac{1}{t}\to 0, logo \sqrt{1+\frac{1}{t}}\to 1. Portanto
\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{t}}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Passo 7

Portanto o limite original também vale \frac{1}{2}. Comentário didático rápido: a técnica de multiplicar pelo conjugado é muito útil para eliminar diferenças envolvendo raízes. Um caso geral semelhante é
\lim_{u\to+\infty}\big(\sqrt{u^{2}+au}-u\big)=\frac{a}{2},
obtido exatamente pelo mesmo procedimento (racionalizar e dividir por u).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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