Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{1+4 x^{2}}}{4+x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{1+4x^{2}}}{4+x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolvida é \dfrac{\sqrt{1+4x^{2}}}{4+x}.
  • A variável x tende a -\infty (ou seja, valores de x muito negativos).
  • A raiz quadrada \sqrt{1+4x^{2}} está bem definida para todo x real porque 1+4x^{2}\ge 1>0.

Passo 2

Uma estratégia padrão para limites quando x\to\pm\infty é fatorar a maior potência de x que aparece dentro das expressões (aqui é x^{2} dentro da raiz) para expoentes e usar o comportamento de 1/x e 1/x^{2}, que vão a zero. Vou aplicar isso à raiz:
\sqrt{1+4x^{2}}=\sqrt{x^{2}\!\left(4+\frac{1}{x^{2}}\right)}.
Agora uso a propriedade \sqrt{x^{2}}=|x|, então
\sqrt{1+4x^{2}}=|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}.
Aqui é importante entender |x|: quando x\to -\infty temos x<0, portanto
|x|=-x.
Expliquei isso porque o sinal importa ao simplificar a fração final.

Passo 3

Substituo a expressão da raiz na fração e tiro um fator x do denominador:
\frac{\sqrt{1+4x^{2}}}{4+x}=\frac{|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{x\!\left(1+\frac{4}{x}\right)}.
Agora separo os fatores:
\frac{|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{x\!\left(1+\frac{4}{x}\right)} =\frac{|x|}{x}\cdot\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{4}{x}}.
Como já notei, para x\to -\infty vale |x|/x=-1. Logo a expressão fica
-\,\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{4}{x}}.

Passo 4

Agora uso que \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to -\infty. As funções \sqrt{\cdot} e as operações algébricas são contínuas onde aplicadas, então posso passar ao limite dentro da expressão:
\lim_{x\to -\infty} -\,\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{4}{x}} = -\,\frac{\sqrt{4+0}}{1+0} = -\,\frac{2}{1} = -2.

Passo 5

Breve verificação numérica (só para ganhar intuição): para x=-1000 a expressão vale aproximadamente
\frac{\sqrt{1+4\cdot 10^{6}}}{4-1000}\approx\frac{2000{,}00025}{-996}\approx -2{,}008,
e ao tomar x mais negativo o valor se aproxima mais de -2. Isso confirma o resultado analítico.

Resposta

-2

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