Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função envolvida é
. - A variável
tende a (ou seja, valores de muito negativos). - A raiz quadrada
está bem definida para todo real porque .
Passo 2
Uma estratégia padrão para limites quando
é fatorar a maior potência de
que aparece dentro das expressões (aqui é
dentro da raiz) para expoentes e usar o comportamento de
e
, que vão a zero. Vou aplicar isso à raiz:
Agora uso a propriedade
, então
Aqui é importante entender
: quando
temos
, portanto
Expliquei isso porque o sinal importa ao simplificar a fração final.
Passo 3
Substituo a expressão da raiz na fração e tiro um fator
do denominador:
Agora separo os fatores:
Como já notei, para
vale
. Logo a expressão fica
Passo 4
Agora uso que
e
quando
. As funções
e as operações algébricas são contínuas onde aplicadas, então posso passar ao limite dentro da expressão:
Passo 5
Breve verificação numérica (só para ganhar intuição): para
a expressão vale aproximadamente
e ao tomar
mais negativo o valor se aproxima mais de
. Isso confirma o resultado analítico.