Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações fornecidas:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Objetivo: encontrar o valor do limite acima.
Passo 2
Verificar a indeterminação no ponto
.
Calcular as funções em
:
Portanto temos a forma indeterminada
, o que permite considerar a Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam nas proximidades de
, o que ocorre aqui porque
e
são diferenciáveis em todo
).
Lembrete prático da Regra de L’Hôpital (forma 0/0): se
e
e
são diferenciáveis em um intervalo ao redor de
(exceto possivelmente em
) e
existe (ou é
), então
Aqui
e
.
Passo 3
Aplicar a Regra de L’Hôpital pela primeira vez: derivar numerador e denominador.
Derivadas:
O limite passa a ser
Verificar indeterminação neste novo quociente:
e
, novamente temos
. Podemos aplicar L’Hôpital outra vez.
Passo 4
Aplicar a Regra de L’Hôpital pela segunda vez: derivar novamente numerador e denominador.
Derivadas de segunda ordem:
O limite passa a ser
Verificar indeterminação:
e
, ainda
. Aplicamos L’Hôpital pela terceira vez.
Passo 5
Aplicar a Regra de L’Hôpital pela terceira vez: derivar numerator e denominador outra vez.
Derivadas de terceira ordem:
O limite torna-se
Agora é uma expressão contínua em
; podemos substituir
:
Observação didática rápida (cheque mental): usando a série de Taylor de
em torno de
,
então
e dividindo por
obtém-se
, confirmando o resultado obtido por L’Hôpital.