Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)-x}{x^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)-x}{x^{3}}.
Informações fornecidas:
  • A função no numerador é \sin(x)-x.
  • A função no denominador é x^{3}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    Objetivo: encontrar o valor do limite acima.

Passo 2

Verificar a indeterminação no ponto x=0.
Calcular as funções em 0:
\sin(0)-0=0,\qquad 0^{3}=0.
Portanto temos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, o que permite considerar a Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam nas proximidades de 0, o que ocorre aqui porque \sin(x) e x^{3} são diferenciáveis em todo \mathbb{R}).
Lembrete prático da Regra de L’Hôpital (forma 0/0): se f(a)=g(a)=0 e f e g são diferenciáveis em um intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=\sin(x)-x e g(x)=x^{3}.

Passo 3

Aplicar a Regra de L’Hôpital pela primeira vez: derivar numerador e denominador.
Derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\sin(x)-x\big)=\cos(x)-1, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
O limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{3x^{2}}.
Verificar indeterminação neste novo quociente: \cos(0)-1=0 e 3\cdot 0^{2}=0, novamente temos \dfrac{0}{0}. Podemos aplicar L’Hôpital outra vez.

Passo 4

Aplicar a Regra de L’Hôpital pela segunda vez: derivar novamente numerador e denominador.
Derivadas de segunda ordem:
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)-1\big)=-\sin(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=6x.
O limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{-\sin(x)}{6x}.
Verificar indeterminação: -\sin(0)=0 e 6\cdot 0=0, ainda \dfrac{0}{0}. Aplicamos L’Hôpital pela terceira vez.

Passo 5

Aplicar a Regra de L’Hôpital pela terceira vez: derivar numerator e denominador outra vez.
Derivadas de terceira ordem:
\frac{d}{dx}\big(-\sin(x)\big)=-\cos(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(6x\big)=6.
O limite torna-se
\lim_{x\to 0}\frac{-\cos(x)}{6}.
Agora é uma expressão contínua em x=0; podemos substituir x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{-\cos(x)}{6}=\frac{-\cos(0)}{6}=\frac{-1}{6}.
Observação didática rápida (cheque mental): usando a série de Taylor de \sin(x) em torno de 0,
\sin(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}),
então
\sin(x)-x=-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}),
e dividindo por x^{3} obtém-se -\dfrac{1}{6}, confirmando o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

-\dfrac{1}{6}

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