Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Quando
temos . - Quando
temos . - Portanto a expressão tem a forma do tipo
, que é uma indeterminação. Segundo o enunciado, devo verificar a indeterminação antes de aplicar a Regra de L’Hôspital.
Passo 2
Para poder usar a Regra de L’Hôspital convém transformar a diferença em uma razão (porque a regra trata de quocientes). Faço a fatoração
Agora foquemos no quociente
Quando
tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a
, então esse quociente tem a forma indeterminada
. A Regra de L’Hôspital é aplicável a essa situação (desde que as funções sejam diferenciáveis para
suficientemente grande, o que é verdade aqui).
Breve lembrete da Regra de L’Hôspital (em palavras simples): se
tem a forma
ou
e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
, então
quando o limite à direita existir (ou for
).
Passo 3
Aplicando L’Hôspital ao quociente
: derivada do numerador é
e do denominador é
. Logo
Isso mostra que
tende a
quando
.
Passo 4
Da linha anterior segue que
Portanto a expressão original pode ser vista como o produto de uma função que tende a
(o fator
) por uma função que tende a
(o fator
). Intuitivamente, isso deve divergir para infinito. Para dar um argumento simples e rigoroso: como
, existe
tal que, para todo
, tem-se
. Assim, para
,
e portanto
Como
quando
, pela desigualdade a esquerda a expressão
também cresce sem limite superior; isto é, diverge para
.