Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
\lim _{x \rightarrow \infty}(x-\ln (x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\bigl(x-\ln(x)\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Quando x\to\infty temos x\to\infty.
  • Quando x\to\infty temos \ln(x)\to\infty.
  • Portanto a expressão tem a forma do tipo \infty-\infty, que é uma indeterminação. Segundo o enunciado, devo verificar a indeterminação antes de aplicar a Regra de L’Hôspital.

Passo 2

Para poder usar a Regra de L’Hôspital convém transformar a diferença em uma razão (porque a regra trata de quocientes). Faço a fatoração
x-\ln(x)=x\left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right).
Agora foquemos no quociente
\frac{\ln(x)}{x}.
Quando x\to\infty tanto o numerador \ln(x) quanto o denominador x tendem a \infty, então esse quociente tem a forma indeterminada \dfrac{\infty}{\infty}. A Regra de L’Hôspital é aplicável a essa situação (desde que as funções sejam diferenciáveis para x suficientemente grande, o que é verdade aqui).
Breve lembrete da Regra de L’Hôspital (em palavras simples): se \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} tem a forma 0/0 ou \infty/\infty e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty).

Passo 3

Aplicando L’Hôspital ao quociente \dfrac{\ln(x)}{x}: derivada do numerador é \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x} e do denominador é \dfrac{d}{dx}x=1. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Isso mostra que \dfrac{\ln(x)}{x} tende a 0 quando x\to\infty.

Passo 4

Da linha anterior segue que
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right)=1-0=1.
Portanto a expressão original pode ser vista como o produto de uma função que tende a \infty (o fator x) por uma função que tende a 1 (o fator 1-\ln(x)/x). Intuitivamente, isso deve divergir para infinito. Para dar um argumento simples e rigoroso: como \dfrac{\ln(x)}{x}\to 0, existe X>0 tal que, para todo x>X, tem-se \dfrac{\ln(x)}{x}<\tfrac{1}{2}. Assim, para x>X,
1-\frac{\ln(x)}{x}>\frac{1}{2},
e portanto
x-\ln(x)=x\left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right)>\frac{x}{2}.
Como \dfrac{x}{2}\to\infty quando x\to\infty, pela desigualdade a esquerda a expressão x-\ln(x) também cresce sem limite superior; isto é, diverge para \infty.

Resposta

\infty

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