Calcule os seguintes limites, utilizando a regra de L’Hospital:
(b) lim x +infty e^x-1x^3+4 x

Passo 1

No enunciado, queremos calcular o limite e o conteúdo é a regra de L’Hospital para formas indeterminadas. Precisamos usar a derivação de numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação: ao fazer xto+infty, temos e^x-1to+infty e x^3+4xto+infty. Logo é uma forma tfracinftyinfty e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
limxto+inftye^x-1x^3+4x = limxto+infty(e^x-1)'(x^3+4x)' = limxto+inftye^x3x^2+4
Ainda é tfracinftyinfty, pois e^xto+infty e 3x^2+4to+infty.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital pela segunda vez:
limxto+inftye^x3x^2+4 = limxto+infty(e^x)'(3x^2+4)' = limxto+inftye^x6x
Ainda resta a forma tfracinftyinfty.

Passo 5

Aplicando L’Hospital pela terceira vez:
limxto+inftye^x6x = limxto+infty(e^x)'(6x)' = limxto+inftye^x6
Agora o numerador vai a +infty e o denominador é constante, de modo que o limite vale +infty.

Resposta

+\infty

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