Mostre como encontrar a derivada segunda (f^prime prime(x)) das funções abaixo
f(x)=x e^x em x=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada segunda de f(x)=x e^x no ponto x=2. Vamos precisar da regra do produto e da derivada da função exponencial, pois f(x) é produto de x e e^x.

Passo 2

Para achar a derivada primeira, aplicamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=e^x, então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u'(x)=1 e v'(x)=e^x.
O resultado é
f'(x)=1cdot e^x + xcdot e^x = e^x + x e^x = e^x(x+1)

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=e^x(x+1) novamente. De novo usamos a regra do produto, com u(x)=x+1 (logo u'(x)=1) e v(x)=e^x (logo v'(x)=e^x).
O resultado é
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1cdot e^x + (x+1)cdot e^x = e^x + e^x(x+1) = e^x(x+2)

Passo 4

Para avaliar em x=2, basta substituir na expressão de f''(x):
f''(2)=e^2(2+2)=4e^2

Resposta

4e^2

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