Calcule os seguintes números complexos:
Resolva as expressões:
\left(\frac{10+j 20}{3+j 4}\right)^{2} \sqrt{(10+j 5)(16-j 20)}

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão
\left(\frac{10 + j\,20}{3 + j\,4}\right)^{2}\,\sqrt{(10 + j\,5)(16 - j\,20)}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{Numerador do quociente: }10 + j\,20, \qquad \text{Denominador do quociente: }3 + j\,4,
\text{Produto dentro da raiz: }(10 + j\,5)(16 - j\,20).
O objetivo é simplificar passo a passo e obter o valor final (em forma exata com radicais e, se for útil, uma aproximação numérica).

Passo 2

Primeiro simplificamos o quociente \dfrac{10 + j\,20}{3 + j\,4}. Para dividir complexos é conveniente multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{10 + j\,20}{3 + j\,4}=\frac{(10 + j\,20)(3 - j\,4)}{(3 + j\,4)(3 - j\,4)}.
Calculamos o numerador:
(10 + j\,20)(3 - j\,4)=10\cdot3 + 10\cdot(-j4) + j20\cdot3 + j20\cdot(-j4).
Fazendo as contas termo a termo:
10\cdot3=30,\quad 10\cdot(-j4)=-j40,\quad j20\cdot3=j60,\quad j20\cdot(-j4)=-j^2 80=+80.
Somando:
(10 + j\,20)(3 - j\,4)=30+80 + j(60-40)=110 + j\,20.
O denominador é
(3 + j\,4)(3 - j\,4)=3^2+4^2=9+16=25.
Logo
\frac{10 + j\,20}{3 + j\,4}=\frac{110 + j\,20}{25}=\frac{22}{5} + j\,\frac{4}{5}.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado:
\left(\frac{22}{5} + j\frac{4}{5}\right)^2=\frac{1}{25}(22 + j4)^2.
Calculemos (22 + j4)^2:
(22 + j4)^2=22^2 + 2\cdot22\cdot j4 + (j4)^2=484 + j176 -16=468 + j176.
Portanto
\left(\frac{10 + j\,20}{3 + j\,4}\right)^{2}=\frac{468 + j\,176}{25}.

Passo 4

Calculamos o produto dentro da raiz:
(10 + j\,5)(16 - j\,20)=10\cdot16 + 10\cdot(-j20) + j5\cdot16 + j5\cdot(-j20).
Termo a termo:
10\cdot16=160,\quad 10\cdot(-j20)=-j200,\quad j5\cdot16=j80,\quad j5\cdot(-j20)=-j^2 100=+100.
Somando:
(10 + j\,5)(16 - j\,20)=160+100 + j(80-200)=260 - j\,120.

Passo 5

Precisamos da raiz quadrada de \,260 - j\,120. Vou explicar um método padrão e utilizá‑lo passo a passo.
Método para \sqrt{a + j b}:
Seja \,s=u + jv tal que s^2=a + j b. Então
u^2 - v^2 = a,\qquad 2uv = b.
Também |a + j b|=\sqrt{a^2+b^2}. Uma fórmula prática é:
u=\sqrt{\frac{|a+jb| + a}{2}},\qquad v=\operatorname{sign}(b)\sqrt{\frac{|a+jb| - a}{2}}.
Aplicando com a=260 e b=-120:
Calcule o módulo
|260 - j\,120|=\sqrt{260^2 + 120^2}=\sqrt{82000}=20\sqrt{205}.
Então
u=\sqrt{\frac{20\sqrt{205} + 260}{2}}=\sqrt{10\sqrt{205} + 130},
v=\operatorname{sign}(-120)\sqrt{\frac{20\sqrt{205} - 260}{2}}=-\sqrt{10\sqrt{205} - 130}.
Definindo por simplicidade
U=\sqrt{10\sqrt{205} + 130},\qquad V=\sqrt{10\sqrt{205} - 130},
temos
\sqrt{260 - j\,120}=U - j\,V.
Observação útil que podemos usar depois: a partir das equações originais segue 2(U)(-V)=-120 logo U V=60, e também U^2 - V^2=260.

Passo 6

Agora multiplicamos \dfrac{468 + j\,176}{25} por \,U - j\,V. Façamos a multiplicação algébrica:
\frac{468 + j\,176}{25}\cdot(U - j\,V)=\frac{1}{25}\big((468U + 176V) + j(176U - 468V)\big).
Usamos aqui os valores simbólicos U=\sqrt{10\sqrt{205}+130} e V=\sqrt{10\sqrt{205}-130}. Isso dá a forma exata final do número complexo pedido.
Se quiser uma verificação numérica: com U\approx16{,}526306 e V\approx3{,}630970 obtemos aproximadamente
\frac{1}{25}((468U +176V) + j(176U -468V))\approx 334{,}9345 + j\,48{,}3734.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{25}\Big(468\sqrt{10\sqrt{205}+130}+176\sqrt{10\sqrt{205}-130}\Big)+j\,\frac{1}{25}\Big(176\sqrt{10\sqrt{205}+130}-468\sqrt{10\sqrt{205}-130}\Big)
\displaystyle \approx 334{,}9345 + j\,48{,}3734

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