CALCULE OS SEGUINTES PRODUTOS
\left[\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 5 & 0 \\\\ 2 & 3 & 7 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes e pede o produto entre elas. As matrizes fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 5 & 0 \\[4pt] 2 & 3 & 7 & 1\end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 \\[4pt] 3 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{array}\right].
A tarefa é calcular a matriz produto A B.]

Passo 2

Regra para multiplicar matrizes (explicação didática): se A é uma matriz de dimensão m\times n e B é de dimensão n\times p, então o produto C=AB existe e tem dimensão m\times p. Cada entrada C_{ik} de C é obtida como o produto escalar (dot product) da linha i de A com a coluna k de B:
C_{ik}=\sum_{j=1}^{n} A_{ij}\,B_{jk}.
No nosso caso A é 2\times4 e B é 4\times2, logo o produto existe e C=AB será 2\times2. Aqui n=4, então cada C_{ik} será a soma de quatro produtos correspondentes.

Passo 3

Calcular C_{11} (linha 1 de A com coluna 1 de B):
A linha 1 de A é \big(1,\,-1,\,5,\,0\big) e a coluna 1 de B é \big(1,\,2,\,3,\,1\big)^{T}. Portanto
C_{11}=1\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 5\cdot 3 + 0\cdot 1.
Calculando termo a termo:
C_{11}=1 - 2 + 15 + 0 = 14.

Passo 4

Calcular C_{12} (linha 1 de A com coluna 2 de B):
A coluna 2 de B é \big(1,\,1,\,1,\,1\big)^{T}. Assim
C_{12}=1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 5\cdot 1 + 0\cdot 1.
Calculando:
C_{12}=1 - 1 + 5 + 0 = 5.

Passo 5

Calcular C_{21} (linha 2 de A com coluna 1 de B):
A linha 2 de A é \big(2,\,3,\,7,\,1\big). Então
C_{21}=2\cdot 1 + 3\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 1.
Calculando:
C_{21}=2 + 6 + 21 + 1 = 30.

Passo 6

Calcular C_{22} (linha 2 de A com coluna 2 de B):
Como a coluna 2 de B é toda de 1's,
C_{22}=2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 7\cdot 1 + 1\cdot 1.
Calculando:
C_{22}=2 + 3 + 7 + 1 = 13.

Passo 7

Resumo do que foi feito: calcularam-se as quatro entradas C_{11},C_{12},C_{21},C_{22} aplicando a fórmula do produto de matrizes (produto escalar entre cada linha de A e cada coluna de B). As dimensões conferem e os cálculos foram realizados passo a passo.

Resposta

AB=\left[\begin{array}{rr}14 & 5 \\[4pt] 30 & 13\end{array}\right]]

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