DETERMINE, EM CADA CASO, A MATRIZ X :
x+\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 5 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]^{\mathrm{t}}

Passo 1

O enunciado dá a seguinte igualdade entre matrizes e pede para determinar a matriz X:
X+\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}^{\mathrm{t}}.
Informações dadas (pego todos os números do enunciado):
  • A matriz somada a X é \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}.
  • A matriz do lado direito antes do transposto é \displaystyle \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
    Pergunta: encontrar a matriz X que satisfaz essa igualdade.]

Passo 2

Entender o operador transposto: para qualquer matriz, o transposto troca linhas por colunas. Em termos elementares, se uma matriz B tem elemento b_{ij} na linha i e coluna j, então B^{\mathrm{t}} tem na posição (i,j) o elemento b_{ji}.
Aqui B=\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}. As colunas de B são
  • primeira coluna \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix},
  • segunda coluna \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
    Trocando linhas por colunas obtemos
B^{\mathrm{t}}=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Reescrevendo a igualdade com o transposto calculado:
X+\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Isolar X: subtraímos a mesma matriz do lado direito de ambos os lados (subtração de matrizes é feita termo a termo):
X=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Fazer a subtração elemento a elemento. Sejam as entradas de cada posição:
  • Posição (1,1): 0-1=-1.
  • Posição (1,2): 2-2=0.
  • Posição (2,1): 0-5=-5.
  • Posição (2,2): 3-1=2.
Portanto a matriz resultante é
X=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar): somando a matriz encontrada com \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix} deve voltar B^{\mathrm{t}}.
\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(-1)+1 & 0+2 \\[4pt] (-5)+5 & 2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},
que é exatamente \displaystyle \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}^{\mathrm{t}}. Logo a solução está correta.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}]

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