Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f é uma função contínua arbitrária em R, expresse \iint_{R} f(x, y) d A) como soma de duas integrais iteradas do tipo usado em (a) Teorema (17.8)(i) e (b) Teorema (17.8)(ii).
x+2 y=5, x-y=2, 2 x+y=-2

Passo 1

O enunciado dá três retas que delimitam uma região R:
x+2y=5,\qquad x-y=2,\qquad 2x+y=-2,
e pede duas coisas:
  • Esboçar (mentalmente/descritivamente) a região R limitada por essas retas.
  • Escrever \iint_{R} f(x,y)\,dA, para uma função contínua arbitrária f, como soma de duas integrais iteradas do tipo usado em (a) Teorema (17.8)(i) e (b) Teorema (17.8)(ii).
Informações dadas relevantes:
  • As três equações das retas (acima).
  • A função f é contínua em R (logo a troca da ordem de integração é válida e as integrais iteradas existem).
    O próximo passo será determinar os vértices da região e como particioná‑la para escrever as integrais iteradas.

Passo 2

Achar os pontos de interseção entre pares de retas para obter os vértices do polígono que delimita [R).
Interseção entre x+2y=5 e x-y=2.
\begin{cases} x+2y=5,\\[4pt] x-y=2. \end{cases}
Da segunda equação x=y+2\]. Substituindo na primeira: \[(y+2)+2y=5 \quad\Rightarrow\quad 3y+2=5 \quad\Rightarrow\quad y=1.\] Então \[x=y+2=3. Primeiro vértice: (3,1).
Interseção entre x-y=2 e 2x+y=-2.
\begin{cases} x-y=2,\\[4pt] 2x+y=-2. \end{cases}
Somando as duas equações: 3x=0\Rightarrow x=0\]. Então \[y=x-2=-2. Segundo vértice: (0,-2).
Interseção entre 2x+y=-2 e x+2y=5.
\begin{cases} 2x+y=-2,\\[4pt] x+2y=5. \end{cases}
Da primeira y=-2-2x\]. Substituindo na segunda: \[x+2(-2-2x)=5 \quad\Rightarrow\quad x-4-4x=5 \quad\Rightarrow\quad -3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=-3.\] Então \(y=-2-2(-3)=4. Terceiro vértice: (-3,4).
Conclusão: os vértices do polígono R são (3,1), (0,-2) e (-3,4). Portanto R é um triângulo com esses vértices.]

Passo 3

Descrever as retas como funções (para poder integrar):
Resolver cada equação para y em função de x:
x+2y=5 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{5-x}{2}. \tag{reta 1}
x-y=2 \quad\Rightarrow\quad y=x-2. \tag{reta 2}
2x+y=-2 \quad\Rightarrow\quad y=-2-2x. \tag{reta 3}
Identificar quais segmentos de reta ligam quais vértices:
  • A reta 1 ( y=(5-x)/2) passa por (-3,4) e (3,1).
  • A reta 2 ( y=x-2) passa por (3,1) e (0,-2).
  • A reta 3 ( y=-2-2x) passa por (0,-2) e (-3,4).
Portanto os lados do triângulo são os trechos dessas retas entre os vértices indicados.

Passo 4

Construir a expressão como soma de duas integrais do tipo (i) (região tipo I: varrendo x e integrando em y para cada x).
Projetar R no eixo x: os x-valores dos vértices vão de -3 a 3. Observação útil: em x=-3 e x=0 ocorrem mudanças na aresta que serve de limite inferior/ superior verticalmente (vértices em -3 e 0). Portanto é natural dividir por x em dois intervalos: [-3,0] e [0,3].
Para um x em [-3,0] os limites em y são, de baixo para cima:
  • limite inferior: reta 3 y=-2-2x,
  • limite superior: reta 1 y=(5-x)/2.
Para verificar, escolhe‑se um x representativo, por exemplo x=-2:
y_{\text{reta1}}=\frac{5-(-2)}{2}=\frac{7}{2}=3{,}5,\qquad y_{\text{reta3}}=-2-2(-2)=2.
Logo para x=-2 a vertical corta a região entre y aproximadamente 2 e 3{,}5, coerente com a escolha.
Para um x em [0,3] os limites em y são, de baixo para cima:
  • limite inferior: reta 2 y=x-2,
  • limite superior: reta 1 y=(5-x)/2.
Verificação com x=2:
y_{\text{reta1}}=\frac{5-2}{2}=1{,}5,\qquad y_{\text{reta2}}=2-2=0,
portanto 0\le y\le 1{,}5 é a fatia vertical dentro do triângulo.
Assim a integral dupla como soma de duas integrais iteradas no formato \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \cdots dy\,dx é:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=-3}^{0}\left(\int_{y=-2-2x}^{(5-x)/2} f(x,y)\,dy\right) dx + \int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=x-2}^{(5-x)/2} f(x,y)\,dy\right) dx.

Passo 5

Explicar (breve aula) o que significa essa forma (Teorema (17.8)(i) — região tipo I) e como construir em prova:
  • Uma região do tipo I é da forma \{(x,y): a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\}. Então se R for igual a essa forma, tem-se \iint_{R} f\,dA=\int_a^b\!\big(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\big)\,dx.
  • No nosso caso a região inteira não é escrita como uma única faixa a\le x\le b com a mesma função inferior e superior para todos os x (os limites em y trocam em x=0), por isso dividimos em duas subfaixas em x e somamos as integrais correspondentes. É exatamente o procedimento padrão na prova: projetar R no eixo x, localizar pontos onde a descrição vertical muda e somar as integrais.

Passo 6

Construir a expressão como soma de duas integrais do tipo (ii) (região tipo II: varrendo y e integrando em x para cada y).
Resolver cada reta para x em função de y:
x+2y=5 \quad\Rightarrow\quad x=5-2y. \tag{reta 1}
x-y=2 \quad\Rightarrow\quad x=2+y. \tag{reta 2}
2x+y=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-1-\frac{y}{2}. \tag{reta 3}
Projetar R no eixo y: os vértices têm y-valores -2,1,4. Assim partimos o intervalo de y em dois: [-2,1] e [1,4].
Para y\in[-2,1] os limites em x são, da esquerda para a direita:
  • limite esquerdo: reta 3 x=-1-\dfrac{y}{2},
  • limite direito: reta 2 x=2+y.
Verificação em y=0:
x_{\text{reta3}}=-1-\tfrac{0}{2}=-1,\qquad x_{\text{reta2}}=2+0=2,
e a seção horizontal entre -1 e 2 está dentro do triângulo, OK.
Para y\in[1,4] os limites em x são:
  • limite esquerdo: reta 3 x=-1-\dfrac{y}{2},
  • limite direito: reta 1 x=5-2y.
Verificação em y=2:
x_{\text{reta3}}=-1-\tfrac{2}{2}=-2,\qquad x_{\text{reta1}}=5-4=1,
logo a seção horizontal vai de -2 a 1, coerente.
Portanto a integral dupla como soma de integrais do tipo \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} \cdots dx\,dy é:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=-2}^{1}\left(\int_{x=-1-\tfrac{y}{2}}^{\,2+y} f(x,y)\,dx\right) dy + \int_{y=1}^{4}\left(\int_{x=-1-\tfrac{y}{2}}^{\,5-2y} f(x,y)\,dx\right) dy.

Resposta

(\displaystyle \iint_{R} f(x,y),dA

\int_{x=-3}{0}!\left(\int_{y=-2-2x}{\frac{5-x}{2}} f(x,y),dy\right) dx
+
\int_{x=0}{3}!\left(\int_{y=x-2}{\frac{5-x}{2}} f(x,y),dy\right) dx)

(\displaystyle \iint_{R} f(x,y),dA

\int_{y=-2}{1}!\left(\int_{x=-1-\tfrac{y}{2}}{,2+y} f(x,y),dx\right) dy
+
\int_{y=1}{4}!\left(\int_{x=-1-\tfrac{y}{2}}{,5-2y} f(x,y),dx\right) dy)

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