Calcule as seguintes propriedades:
A pressão necessária para encher um recipiente de 0,1 \mathrm{~m}^{3} para armazenar 50 moles de propano, à temperatura ambiente

Passo 1

O enunciado pede: calcular a pressão necessária para guardar 50 mol de propano num recipiente de volume 0{,}1\\ \mathrm{m}^3 à temperatura ambiente. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
  • Quantidade de matéria: n=50\\ \mathrm{mol}.
  • Volume do recipiente: V=0{,}1\\ \mathrm{m}^3.
  • Temperatura: não foi específica no enunciado, então vou assumir temperatura ambiente comum em problemas: T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}. (Se a prova usar outra temperatura ambiente, basta substituir T e repetir os passos.)
  • Constante universal dos gases: vou usar \;R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} (que equivale a \mathrm{Pa\cdot m^3/(mol\cdot K)}).
O que se quer: a pressão P necessária dentro do recipiente.

Passo 2

A equação que usamos é a lei dos gases perfeitos (Lei de Boyle–Mariotte/Clapeyron/Ideal gas law). Vou explicar bem direitinho o que ela é e o que cada símbolo significa.
A lei dos gases perfeitos é:
PV = nRT.
Onde:
  • P é a pressão do gás (em pascal, \mathrm{Pa});
  • V é o volume ocupado pelo gás (em metros cúbicos, \mathrm{m}^3);
  • n é o número de mols (em mol);
  • R é a constante universal dos gases ( 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin, \mathrm{K}).
No caso, queremos P, então isolamos P:
P=\frac{nRT}{V}.
Observação didática: usar essa lei é padrão em muitos exercícios de prova. Ela assume comportamento ideal do gás — isto é, que as moléculas não têm volume próprio significativo e não interagem além de colisões elásticas. Para pressões moderadas (algumas dezenas de atm) e temperatura ambiente, essa aproximação costuma ser razoável; se precisão alta for exigida, usa-se uma equação de estado real (van der Waals, virial, etc.). Vou comentar sobre isso depois do cálculo.

Passo 3

Agora fazemos as contas passo a passo, checando unidades para que tudo dê certo.
Substituindo n=50, R=8{,}314462618\\ \mathrm{Pa\cdot m^3/(mol\cdot K)}, T=298{,}15\\ \mathrm{K} e V=0{,}1\\ \mathrm{m}^3 na fórmula:
P=\frac{50\cdot 8{,}314462618\cdot 298{,}15}{0{,}1}\\ \mathrm{Pa}.
Calculemos em etapas:
8{,}314462618\cdot 298{,}15 \approx 2478{,}959999\quad(\mathrm{Pa\cdot m^3/(mol)}).
Multiplicando por 50:
50\cdot 2478{,}959999 \approx 123947{,}99995.
Dividindo por 0{,}1:
P \approx 1{,}239{,}479{,}9995\\ \mathrm{Pa}\approx 1{,}239{,}480\\ \mathrm{Pa}.
Para interpretar melhor, converto para unidades mais usuais:
  • Em bar ( 1\\ \mathrm{bar}=10^5\\ \mathrm{Pa}):
P \approx \frac{1{,}239{,}480}{10^5}\\ \mathrm{bar} \approx 12{,}3948\\ \mathrm{bar}.
  • Em atmosferas ( 1\\ \mathrm{atm}=101{,}325\\ \mathrm{Pa}):
P \approx \frac{1{,}239{,}480}{101{,}325}\\ \mathrm{atm} \approx 12{,}226\\ \mathrm{atm}.
Arredondando de modo prático para a maioria das provas: P\approx 1{,}24\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, ou 12{,}4\\ \mathrm{bar} (aprox.), ou 12{,}2\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Comentário sobre validade do modelo (útil na prova e para saber se o resultado é confiável):
  • A pressão encontrada é cerca de 12 atm. Essa não é uma pressão extremante alta; o propano permanece gasoso a 25^\circ\mathrm{C} até pressões bem maiores antes de condensar (pressão crítica do propano é bem maior). Portanto a aproximação de gás ideal é razoável para uma resposta de prova.
  • Se a prova exigir correção por comportamento real, deve-se usar uma equação de estado real (por exemplo, van der Waals) com constantes conhecidas para o propano e resolver numericamente; isso geralmente não é pedido em questões elementares.

Passo 5

Recapitulando de forma curta e motivadora: pegando o que foi dado e aplicando P=nRT/V com T=298{,}15\\ \mathrm{K} obtemos uma pressão da ordem de 1{,}24\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. Vai nessa que deu certo — e se na prova o enunciado der outra temperatura, basta trocar o T e refazer a multiplicação.

Resposta

P \approx 1{,}24\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}
P \approx 12{,}4\\ \mathrm{bar}
P \approx 12{,}2\\ \mathrm{atm}

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