EXEMPLO 4.9
Cálculo de v pela Equação de Estado de Redlich-Kwong e pelas Tabelas de Compressibilidade Generalizada
Calcule o volume ocupado por 10 kg de butano a 50 bar e
usando a equação de Redlich-Kwong e as tabelas de compressibilidade generalizada.
SOLUÇÃO Usando a equação de estado de Redlich-Kwong
Determinamos primeiramente os parâmetros de Redlich-Kwong
e
usando as propriedades críticas:
Cálculo de v pela Equação de Estado de Redlich-Kwong e pelas Tabelas de Compressibilidade Generalizada
Passo 1
O enunciado pede o volume ocupado por
de butano nas condições
e
usando duas rotas:
- Usando a equação de estado de Redlich–Kwong (RK).
- Usando as tabelas de compressibilidade generalizada (gráfico/tabela
vs ).
Dados fornecidos (ou necessários, e que usarei):
- Pressão:
. - Temperatura:
. - Massa de butano:
. - Massa molar do butano (n‑butano):
. - Propriedades críticas do butano (valores padrão):
e . - Constante universal dos gases:
.
O que vou calcular:
- Número de mols
a partir da massa e da massa molar. - Parâmetros da EOS de Redlich–Kwong
e . - Resolver numericamente a equação de RK para o volume molar
(m³/mol) e então . - Calcular
também pela via das tabelas de compressibilidade generalized: obter para e , usar e então . - Apresentar os resultados finais comparados.
Passo 2
Cálculo do número de mols
.
Explicação rápida: o número de mols é simplesmente a massa dividida pela massa molar:
. Aqui
em gramas e
em g·mol⁻¹ dá
em mols.
Cálculo:
(Guarde este valor para o cálculo do volume total mais à frente.)
Passo 3
Calcular os parâmetros
e
da equação de Redlich–Kwong.
Breve explicação da fórmula:
- A equação de Redlich–Kwong usa dois parâmetros específicos da substância,
e , que dependem de e . As fórmulas clássicas são
Aqui
é a constante universal,
em K e
em Pa; as unidades resultam para
e
compatíveis com a equação (em SI).
Cálculo numérico passo a passo:
- Primeiro calcule
. Não é necessário fazer cada produto com muitas casas, mas vou dar valores com precisão suficiente. - Usando
, e :
(Unidade numérica compatível com a forma usada na equação; este valor numérico coincide com o trecho do enunciado.)
Resumo:
Observação: mantive as aproximações numéricas em um número de dígitos prático; nas contas seguintes usarei esses valores.
Passo 4
Escrever a equação de Redlich–Kwong e preparar para resolver numericamente
(volume molar).
A equação de RK em forma convencional é:
Explicação: para uma dada
e
conhecidos e com
já determinados, essa equação é uma equação para
. Não é trivial de resolver analiticamente, então fazemos método numérico. Uma boa prática é transformar em uma função
e procurar
tal que
.
Valor inicial útil (estimativa): o volume molar ideal seria
Calculemos
só para referência:
Comentário didático: no caso real,
pode ficar bem diferente do ideal (principalmente quando
é comparável ou maior que
). Portanto há que se resolver
numericamente. Vou usar o método da bisseção (explicado abaixo) porque é robusto e simples de demonstrar passo a passo — ideal para prova sem calculadora sofisticada.
Passo 5
Resolver numericamente
por bisseção (detalhamento didático).
Explicação do método da bisseção:
- Se
e têm sinais opostos, então por continuidade existe pelo menos uma raiz entre e . A bisseção toma o ponto médio e reduz iterativamente o intervalo pela metade até a precisão desejada. - Aqui precisamos de um intervalo inicial
com sinais opostos. Observação prática: quando o termo domina e . Para grande (muito maior que ) o P previsto tende a zero, então torna-se negativo. Assim podemos tomar pouco maior que e ; verificamos sinais opostos e aplicamos bisseção.
Cálculos (principais iterações, mostrando convergência):
-
Defina a função com
, , , e . -
Tomamos
. Calculando obtém-se um valor grande e positivo (pressão prevista muito maior que ). -
Tomamos
. Calculando obtém-se valor negativo (pressão prevista menor que ). -
Aplicando bisseção e avaliando
em pontos médios sucessivos e refinando o intervalo, obtém‑se convergência para a raiz. Para não alongar demais, listo aqui as iterações chave (valores aproximados) e o raciocínio: - Após algumas iterações o intervalo fica centrado entre aproximadamente
e . - Continuando a bisseção até precisão adequada (casa significativa conveniente para provas / engenharia), a raiz converge para
- Após algumas iterações o intervalo fica centrado entre aproximadamente
Comentário sobre convergência: o valor encontrado é consistente com o comportamento físico (fluido denso,
bem menor que o ideal porque a pressão é alta e
). A bisseção é lenta, porém robusta; em prova pode ser suficiente fazer 6–8 iterações até erro aceitável.
Passo 6
Calcular o volume total usando o
obtido pela RK.
Explicação simples: volume total
.
Cálculo:
Interpretação:
. Comparação mental: o volume ideal (se o gás fosse ideal) seria
(95,4 L). A diferença mostra o efeito da compressibilidade / fase densa.
Passo 7
Cálculo pela tabela de compressibilidade generalizada (método alternativo e prático).
Explicação do método:
- As tabelas (ou gráfico) de compressibilidade generalizada fornecem o fator
em função das variáveis reduzidas e , com
- Uma vez conhecido
, o volume molar é simplesmente
- Normalmente esse método é muito rápido numa prova: calcula
, consulta a tabela e aplica a fórmula.
Calcular
e
:
Agora consultando a tabela de compressibilidade generalizada para
e
obtém‑se (tabela padrão de engenharia) um valor aproximado
(Aqui estou explicitando que obtive
pela consulta à tabela generalizada.)
Calcular
usando esse
:
Volume total pela tabela:
Comentários: os dois métodos (RK e tabela
) deram valores muito próximos:
e
. A diferença é pequena e aceitável para engenharia/avaliação aproximada; mostra que a RK e a tabela generalized são consistentes neste caso.
Resposta
Usando a equação de Redlich–Kwong:
.
Usando as tabelas de compressibilidade generalizada:
.