Calcule as seguintes propriedades:
O volume ocupado por 20 kg de propano a
e 70 bar
O volume ocupado por 20 kg de propano a
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os números que foram passados):
- Massa do propano:
. - Temperatura:
. - Pressão:
.
O que é pedido:
- Calcular o volume ocupado por essa massa de propano nas condições dadas (temperatura e pressão).
Passo 2
Decidindo o procedimento (explicação curta e empática antes de começar a calcular).
- A primeira ideia que vem à cabeça é usar a lei dos gases ideais. Porém
é uma pressão alta (muito acima da pressão ambiente) e a temperatura é próxima da temperatura crítica do propano. Nestas condições o comportamento do gás difere bastante do ideal: é preciso usar uma equação de estado para gás real. - Vou usar a equação de van der Waals (é simples e dá uma correção razoável para pressões elevadas). Não vou pular passos: explico a equação e como obtenho os parâmetros.
A equação de van der Waals (para o mol) é:
onde:
-
é a pressão (em ); -
é o volume molar (volume por mol, em ); -
é a constante dos gases ideais ; -
é a temperatura absoluta em kelvin (K); -
e são constantes da substância (parâmetros que corrigem forças intermoleculares e volume molecular).
Para obter
e
a partir das propriedades críticas
e
(fórmulas padrão da van der Waals):
Essas fórmulas vêm do requisito de que a equação de van der Waals reproduza corretamente o ponto crítico.
Valores que vou usar (valores tabulados para o propano; peguei estes valores em tabelas de propriedades):
- Massa molar do propano:
(ou ). - Temperatura crítica do propano:
- Pressão crítica do propano:
Vou trabalhar sempre no SI: converter
para kelvin e
para pascal.
Passo 3
Conversões e cálculo do número de mols (passo importante para depois obter o volume total).
- Temperatura em kelvin:
- Pressão em pascal:
- Número de mols
:
Expliquei: dividir a massa total pela massa de uma mol dá quantos mols existem; usei três casas significativas razoáveis.
Passo 4
Cálculo dos parâmetros
e
da van der Waals com as fórmulas e números (faço passo a passo).
- Constante
e constantes críticas (já dadas no passo anterior). - Calcular
:
Colocando números (tudo em SI):
Cálculo numérico (mostrando os passos principais):
- Calcular
:
Numericamente:
Resumo dos parâmetros (valores que usarei adiante):
Passo 5
Equação a resolver para o volume molar
e estratégia numérica.
- A equação que relaciona
a e é:
- Objetivo: encontrar
que satisfaça isso para e . - Essa equação é não-linear (cúbica se escrita de forma expandida) — não dá uma expressão simples fechada fácil de usar à mão, então vamos resolver numericamente por tentativa/iteração controlada (método intuitivo de encostar na raiz): escolher palpites para
, calcular a pressão que esses produziram e ajustar até encontrar dada.
Antes de iterar faço um palpite inicial com o gás ideal (útil como chute inicial):
Isso nos dá um ponto de partida. Agora vou calcular a pressão que a van der Waals dá para esse
e ver se precisamos diminuir ou aumentar
.
Passo 6
Iterações numéricas (vou mostrar várias tentativas e como cheguei à convergência).
Defino a função (apenas para organizar mentalmente):
Defino a função (apenas para organizar mentalmente):
Queremos
.
- Tentativa com
:
-
. -
-
-
.
Conclusão: para essea pressão prevista é menor do que ; para aumentar é preciso reduzir .
- Tentei reduzir
para ter uma ideia do comportamento:
-
dá (ainda abaixo). -
dá (agora acima).
Assim já temos um intervalo onde a solução está: entre
e
.
- Refino na vizinhança (mostro dois refinamentos):
-
: -
(ligeiramente acima de ).
-
-
: -
(ligeiramente abaixo).
-
- Interpolando entre esses dois valores e fazendo mais uma avaliação, chego a:
-
que produz isto é, muito próximo do alvo . A diferença é pequena e aceitável para cálculo manual.
Portanto tomo como solução para o volume molar:
(Na prática: resolver a equação cúbica de van der Waals com métodos numéricos automáticos dá um valor muito próximo — mostrei as iterações para que fique claro como chegar lá na prova sem computador.)
Passo 7
Cálculo do volume total e conversões finais.
- Volume total
:
- Converter para litros (1 m³ = 1000 L):
Arredondando de forma prática (dados iniciais têm duas ou três algarismos significativos), o volume final fica:
Pequeno comentário motivador: deu trabalho, mas o passo a passo é exatamente o que vale na prova — converter unidades, escolher equação adequada, calcular parâmetros e resolver numericamente com palpites. Você consegue fazer isso na folha, seguindo essas contas.