Calcule as seguintes propriedades:
O volume ocupado por 20 kg de propano a 100^{\circ} \mathrm{C} e 70 bar

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os números que foram passados):
  • Massa do propano: 20\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura: 100^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão: 70\\ \mathrm{bar}.
O que é pedido:
  • Calcular o volume ocupado por essa massa de propano nas condições dadas (temperatura e pressão).

Passo 2

Decidindo o procedimento (explicação curta e empática antes de começar a calcular).
  • A primeira ideia que vem à cabeça é usar a lei dos gases ideais. Porém 70\\ \mathrm{bar} é uma pressão alta (muito acima da pressão ambiente) e a temperatura 100^\circ\mathrm{C} é próxima da temperatura crítica do propano. Nestas condições o comportamento do gás difere bastante do ideal: é preciso usar uma equação de estado para gás real.
  • Vou usar a equação de van der Waals (é simples e dá uma correção razoável para pressões elevadas). Não vou pular passos: explico a equação e como obtenho os parâmetros.
A equação de van der Waals (para o mol) é:
\left(P + \frac{a}{V_m^{2}}\right)\left(V_m - b\right) = R T,
onde:
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa});
  • V_m é o volume molar (volume por mol, em \mathrm{m^{3}/mol});
  • R é a constante dos gases ideais \;R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (K);
  • a e b são constantes da substância (parâmetros que corrigem forças intermoleculares e volume molecular).
Para obter a e b a partir das propriedades críticas T_c e P_c (fórmulas padrão da van der Waals):
a = \frac{27 R^2 T_c^2}{64 P_c},\qquad b = \frac{R T_c}{8 P_c}.
Essas fórmulas vêm do requisito de que a equação de van der Waals reproduza corretamente o ponto crítico.
Valores que vou usar (valores tabulados para o propano; peguei estes valores em tabelas de propriedades):
  • Massa molar do propano: M = 0{,}044097\\ \mathrm{kg/mol} (ou 44{,}097\\ \mathrm{g/mol}).
  • Temperatura crítica do propano: T_c = 369{,}83\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica do propano: P_c = 42{,}48\\ \mathrm{bar} = 4{,}248\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Vou trabalhar sempre no SI: converter 100^\circ\mathrm{C} para kelvin e 70\\ \mathrm{bar} para pascal.

Passo 3

Conversões e cálculo do número de mols (passo importante para depois obter o volume total).
  • Temperatura em kelvin:
T = 100^\circ\mathrm{C} = 100 + 273{,}15 = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão em pascal:
P = 70\\ \mathrm{bar} = 70\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 7{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Número de mols n:
n = \frac{\text{massa}}{M} = \frac{20\\ \mathrm{kg}}{0{,}044097\\ \mathrm{kg/mol}} = 453{,}6\\ \mathrm{mol}\\ (\text{aprox.}).
Expliquei: dividir a massa total pela massa de uma mol dá quantos mols existem; usei três casas significativas razoáveis.

Passo 4

Cálculo dos parâmetros a e b da van der Waals com as fórmulas e números (faço passo a passo).
  • Constante R e constantes críticas (já dadas no passo anterior).
  • Calcular a:
a = \frac{27 R^2 T_c^2}{64 P_c}.
Colocando números (tudo em SI):
R = 8{,}314462618,\quad T_c = 369{,}83,\quad P_c = 4{,}248\times10^{6}.
Cálculo numérico (mostrando os passos principais):
R^2 T_c^2 \approx 69{,}15 \times 136{,}774 \approx 9{,}457{,}5\times10^{6},
\frac{27}{64}\approx0{,}421875,
a \approx 0{,}421875 \times \frac{9{,}457{,}5\times10^{6}}{4{,}248\times10^{6}} \approx 0{,}939\\ (\text{unidade: }\mathrm{Pa\cdot m^{6}/mol^{2}}).
  • Calcular b:
b = \frac{R T_c}{8 P_c}.
Numericamente:
R T_c \approx 8{,}314462618\times369{,}83 \approx 3{,}074{,}9,
8P_c = 8\times4{,}248\times10^{6} = 33{,}984\times10^{6},
b \approx \frac{3{,}074{,}9}{33{,}984\times10^{6}} \approx 9{,}05\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
Resumo dos parâmetros (valores que usarei adiante):
a \approx 0{,}939\quad\text{e}\quad b \approx 9{,}05\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.

Passo 5

Equação a resolver para o volume molar V_m e estratégia numérica.
  • A equação que relaciona V_m a P e T é:
P = \frac{R T}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^{2}}.
  • Objetivo: encontrar V_m que satisfaça isso para P=7{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} e T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Essa equação é não-linear (cúbica se escrita de forma expandida) — não dá uma expressão simples fechada fácil de usar à mão, então vamos resolver numericamente por tentativa/iteração controlada (método intuitivo de encostar na raiz): escolher palpites para V_m, calcular a pressão que esses V_m produziram e ajustar até encontrar P dada.
Antes de iterar faço um palpite inicial com o gás ideal (útil como chute inicial):
V_{m,\text{ideal}} = \frac{R T}{P} = \frac{8{,}314462618\times373{,}15}{7{,}0\times10^{6}} \approx 4{,}433\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
Isso nos dá um ponto de partida. Agora vou calcular a pressão que a van der Waals dá para esse V_m e ver se precisamos diminuir ou aumentar V_m.

Passo 6

Iterações numéricas (vou mostrar várias tentativas e como cheguei à convergência).
Defino a função (apenas para organizar mentalmente):
P_{\text{vdW}}(V_m) = \frac{R T}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^{2}}.
Queremos P_{\text{vdW}}(V_m)=7{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Tentativa com V_m = V_{m,\text{ideal}} = 4{,}433\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}:
  • V_m - b \approx 4{,}433\times10^{-4} - 9{,}05\times10^{-5} = 3{,}527\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
  • \dfrac{R T}{V_m - b} \approx \dfrac{3{,}103}{3{,}527\times10^{-4}} \approx 8{,}797\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • \dfrac{a}{V_m^{2}} \approx \dfrac{0{,}939}{(4{,}433\times10^{-4})^{2}} \approx 4{,}78\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • P_{\text{vdW}} \approx 8{,}797\times10^{6} - 4{,}78\times10^{6} = 4{,}017\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    Conclusão: para esse V_m a pressão prevista é menor do que 7{,}0\times10^{6}; para aumentar P_{\text{vdW}} é preciso reduzir V_m.
  1. Tentei reduzir V_m para ter uma ideia do comportamento:
  • V_m = 2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol} P_{\text{vdW}}\approx 4{,}865\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (ainda abaixo).
  • V_m = 1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol} P_{\text{vdW}}\approx 1{,}044\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} (agora acima).
Assim já temos um intervalo onde a solução está: entre 1{,}50\times10^{-4} e 2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
  1. Refino na vizinhança (mostro dois refinamentos):
  • V_m = 1{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}:
    • P_{\text{vdW}}\approx 7{,}15\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (ligeiramente acima de 7{,}0\times10^{6}).
  • V_m = 1{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}:
    • P_{\text{vdW}}\approx 6{,}76\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (ligeiramente abaixo).
  1. Interpolando entre esses dois valores e fazendo mais uma avaliação, chego a:
  • V_m \approx 1{,}661\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol} que produz P_{\text{vdW}}\approx 7{,}01\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},isto é, muito próximo do alvo 7{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. A diferença é pequena e aceitável para cálculo manual.
Portanto tomo como solução para o volume molar:
V_m \approx 1{,}661\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
(Na prática: resolver a equação cúbica de van der Waals com métodos numéricos automáticos dá um valor muito próximo — mostrei as iterações para que fique claro como chegar lá na prova sem computador.)

Passo 7

Cálculo do volume total e conversões finais.
  • Volume total V = n \, V_m:
V = 453{,}6\\ \mathrm{mol} \times 1{,}661\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol} \approx 0{,}07535\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Converter para litros (1 m³ = 1000 L):
V \approx 0{,}07535\\ \mathrm{m^{3}} \times 1000 = 75{,}35\\ \mathrm{L}.
Arredondando de forma prática (dados iniciais têm duas ou três algarismos significativos), o volume final fica:
V \approx 0{,}0754\\ \mathrm{m^{3}} = 75{,}4\\ \mathrm{L}.
Pequeno comentário motivador: deu trabalho, mas o passo a passo é exatamente o que vale na prova — converter unidades, escolher equação adequada, calcular parâmetros e resolver numericamente com palpites. Você consegue fazer isso na folha, seguindo essas contas.

Resposta

V=0{,}0754\\ \mathrm{m^{3}} = 75{,}4\\ \mathrm{L}

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