Calcule as seguintes propriedades:
A pressão necessária para encher um recipiente de 0,1 \mathrm{~m}^{3} para armazenar uma mistura de 20 moles de propano e 30 moles de etano, à temperatura ambiente

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a pressão necessária para armazenar a mistura no recipiente:
  • Volume do recipiente: V=0,1\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Número de mols de propano: n_{\text{propano}}=20.
  • Número de mols de etano: n_{\text{etano}}=30.
  • Temperatura: “temperatura ambiente” — vou assumir a temperatura padrão de referência para “ambiente” como T=298\\ \mathrm{K} (ou seja, 25^\circC). Se o seu professor usar outro valor (por ex. 293\\ \mathrm{K}), o resultado muda um pouco, mas o procedimento é o mesmo.
O que se pede:
  • Calcular a pressão P dentro do recipiente necessária para armazenar a mistura nesses dados.

Passo 2

Qual ferramenta vamos usar (a explicação didática):
  • Para misturas gasosas ideais, a pressão total é dada pela lei dos gases ideais aplicada ao total de mols, ou pela soma das pressões parciais (lei de Dalton). Ambas são equivalentes. Vou explicar as duas formas brevemente.
  1. Uso direto do gás ideal para a mistura: usar a fórmula
PV = nRT,
onde
  • P é a pressão total (em Pa),
  • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número total de mols da mistura (em mol),
  • R é a constante universal dos gases (em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Explicando cada variável de forma bem simples:
  • P: queremos encontrar — é a força por unidade de área exercida pelas moléculas do gás nas paredes.
  • V: dado pelo problema.
  • n: soma dos mols de cada componente.
  • R: valor tabulado, R=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (vou usar esse valor).
  • T: temperatura em kelvin; já escolhemos 298\\ \mathrm{K}.
  1. Forma por pressões parciais (para entender a física): cada gás i teria pressão parcial
P_i=\frac{n_i R T}{V},
e a pressão total é
P=\sum_i P_i=\frac{( \sum_i n_i) R T}{V}=\frac{n_{\text{total}} R T}{V}.
Ou seja, é a mesma equação do item 1 quando usamos n_{\text{total}}.

Passo 3

Calcular o número total de mols da mistura:
n_{\text{total}}=n_{\text{propano}}+n_{\text{etano}}=20+30=50\\ \text{mol}.
Só para reforçar a ideia: cada mol corresponde a 6,022\times10^{23} moléculas; usamos mols porque a lei dos gases é expressa naturalmente em mols.

Passo 4

Aplicar a equação dos gases ideais e fazer as contas passo a passo.
A fórmula é
P=\frac{n_{\text{total}} R T}{V}.
Substituindo os números (usando R=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, T=298\\ \mathrm{K}, n_{\text{total}}=50\\ \mathrm{mol}, V=0,1\\ \mathrm{m^{3}}):
P=\frac{50\cdot 8,3145 \cdot 298}{0,1}.
Agora calcular em etapas claras:
8,3145\cdot 298 = 2477,721
(para ver: 8,3145\times300=2494,35 e subtrai-se 8,3145\times2=16,629, resultando em 2477,721).
Em seguida
50\cdot 2477,721 = 123886,05.
Finalmente dividindo por 0,1 (que é o mesmo que multiplicar por 10):
P = \frac{123886,05}{0,1} = 1\,238\,860,5\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando com precisão razoável: P \approx 1,24\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Converter a pressão para unidades mais usuais (opcionais, mas úteis para interpretar o resultado):
  • Em megapascal:
P \approx 1,24\\ \mathrm{MPa}
porque 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em bar (onde 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
P \approx 12,39\\ \text{bar}.
  • Em atmosferas (onde 1\\ \text{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}):
P \approx \frac{1\,238\,860,5}{101325}\approx 12,23\\ \text{atm}.

Passo 6

Observações finais e verificação das hipóteses (didática e tranquilizadora):
  • Usei o modelo de gás ideal. Isso é normalmente válido a T ambiente e pressões moderadas; aqui a pressão obtida é cerca de 12 bar. Para hidrocarbonetos (propano, etano) em pressões dessa ordem pode haver alguma não-idealidade: o fator de compressibilidade Z pode desviar de 1. Se for necessária alta precisão, usar equações de estado reais (van der Waals, Redlich–Kwong, Peng–Robinson) ou tabelas experimentais é o caminho. Para muitas provas de graduação, o modelo ideal é o pedido.
  • Alternativa prática: calcular cada pressão parcial e somar. Por exemplo:
P_{\text{propano}}=\frac{20\cdot R T}{V},\qquad P_{\text{etano}}=\frac{30\cdot R T}{V},
e P=P_{\text{propano}}+P_{\text{etano}}. Isso dá o mesmo resultado porque P é proporcional a n.
Força final: você já conseguiu — objetivo cumprido.

Resposta

P \approx 1{,}2388605\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}
P \approx 1{,}24\\ \mathrm{MPa}
P \approx 12{,}39\\ \text{bar}
P \approx 12{,}23\\ \text{atm}

Exercícios relacionados