Seja X uma v.a. com Distribuição Exponencial com taxa \lambda=2. Denotamos então X \sim \operatorname{Exp}(2), e a função de densidade de X é dada por
f_{X}(x)=2 e^{-2 x}, x>0
Calcule \mathbb{P}(X \leq 1).

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória X com distribuição Exponencial de taxa \lambda=2, cuja densidade é
f_{X}(x)=2e^{-2x},\quad x>0.
Queremos calcular a probabilidade
\mathbb{P}(X\le1). Para isso, vamos usar a função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial.

Passo 2

Sabemos que, para X\sim\mathrm{Exp}(\lambda), a CDF é
F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\quad x\ge0.
No nosso caso, \lambda=2, logo
F_X(x)=1-e^{-2x}.

Passo 3

Bast a avaliar em x=1:
\mathbb{P}(X\le1)=F_X(1)=1-e^{-2\cdot1}=1-e^{-2}.

Resposta

1 - e^{-2}\approx0{,}8647

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