Escreva na forma trigonométrica e represente geometricamente os seguintes números complexos:
(1+i \sqrt{3})^{1000}

Passo 1

O enunciado pede para escrever
(1 + i\sqrt{3})^{1000}
na forma trigonométrica e representá-lo geometricamente. O conteúdo necessário é representação polar de número complexo e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Calcular módulo r e argumento \theta de
z = 1 + i\sqrt{3}.
O módulo é
r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2,
e o argumento, no primeiro quadrante, satisfaz
\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{1} \implies \theta = \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Escrevendo z em forma trigonométrica e aplicando De Moivre, temos
z = 2\bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad z^{1000} = 2^{1000}\Bigl(\cos\bigl(1000\cdot\frac{\pi}{3}\bigr) + i\sin\bigl(1000\cdot\frac{\pi}{3}\bigr)\Bigr).

Passo 4

Reduzir o ângulo módulo 2\pi:
1000\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{1000\pi}{3} = 166\cdot2\pi + \frac{4\pi}{3}
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\cos\!\Bigl(\tfrac{1000\pi}{3}\Bigr) = \cos\!\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}\Bigr) = -\tfrac12, \quad \sin\!\Bigl(\tfrac{1000\pi}{3}\Bigr) = \sin\!\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}\Bigr) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Substituindo,
(1 + i\sqrt{3})^{1000} = 2^{1000}\Bigl(-\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = 2^{999}\bigl(-1 - i\sqrt{3}\bigr).
Geometricamente é um vetor de módulo 2^{1000} e argumento \tfrac{4\pi}{3} ( 240\circ), apontando para o terceiro quadrante.

Resposta

(1 + i\sqrt{3})^{1000} = 2^{1000}\Bigl(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\Bigr) = 2^{999}\bigl(-1 - i\sqrt{3}\bigr).

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