Calcule as seguintes tendências:
(a) \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{3}-100 x^{2}\right)
(b) \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{3}+100 x^{2}\right)
(c) \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{4}-100 x^{3}\right)
(d) \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{4}+100 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule quatro limites (tendências) de funções polinomiais. As perguntas são:
  • (a) \lim_{x\to\infty}\left(x^{3}-100 x^{2}\right)
  • (b) \lim_{x\to-\infty}\left(x^{3}+100 x^{2}\right)
  • (c) \lim_{x\to\infty}\left(x^{4}-100 x^{3}\right)
  • (d) \lim_{x\to-\infty}\left(x^{4}+100 x^{3}\right)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Cada expressão é um polinômio: soma de potências de x com coeficientes (por exemplo x^{3}, 100x^{2}, etc.).
  • As direções do limite são para x\to\infty (tendência para +\infty) ou x\to-\infty (tendência para -\infty).
  • Não há restrição adicional (como pontos de descontinuidade): são polinômios definidos para todo x.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática, sem pular etapas): para polinômios a termo de maior grau domina o comportamento quando |x| fica muito grande. Mais precisamente, se
p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
com a_n\neq 0 e n o maior expoente, então, ao fazer x\to\infty ou x\to-\infty, o termo a_n x^n cresce muito mais rápido que os outros termos; por isso o sinal e a paridade de n (par ou ímpar) determinam a tendência:
  • Se n é par e a_n>0 então p(x)\to +\infty tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty.
  • Se n é par e a_n<0 então p(x)\to -\infty nos dois sentidos.
  • Se n é ímpar então a tendência segue o sinal de a_n x^n: para x\to+\infty o termo dominante tem sinal de a_n; para x\to-\infty tem sinal oposto (porque x^n troca de sinal quando n é ímpar).
Ferramenta prática (método que vamos usar): fatorar o maior potência de x na expressão. Ao fazer isso aparece um fator x^n e um fator que tende a 1 (pois os termos com divisões por x vão a 0). Exemplo genérico:
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots = x^n\Big(a_n + \frac{a_{n-1}}{x}+\cdots\Big)
e então estudar o limite de cada fator quando x\to\infty ou x\to-\infty.

Passo 3

Calculemos (a) passo a passo:
\lim_{x\to\infty}\left(x^{3}-100 x^{2}\right).
Fatorando a maior potência x^{3}:
x^{3}-100x^{2}=x^{3}\Big(1-\frac{100}{x}\Big).
Agora analisamos os dois fatores quando x\to\infty:
  • x^{3}\to +\infty porque x positivo grande elevado à potência 3 cresce para +\infty.
  • \displaystyle 1-\frac{100}{x}\to 1 porque \dfrac{100}{x}\to 0 quando x\to\infty.
    Multiplicando o comportamento dos fatores, o produto tende a +\infty. Conclusão intermediária para (a): o limite é +\infty.

Passo 4

Calculemos (b) com a mesma técnica:
\lim_{x\to-\infty}\left(x^{3}+100 x^{2}\right).
Fatorando x^{3}:
x^{3}+100x^{2}=x^{3}\Big(1+\frac{100}{x}\Big).
Analisando para x\to-\infty:
  • x^{3}\to -\infty porque x negativo com potência ímpar mantém sinal negativo e cresce em magnitude.
  • \displaystyle 1+\frac{100}{x}\to 1 porque \dfrac{100}{x}\to 0 (tende a 0 vindo de valores negativos, mas o limite é 1).
    Portanto o produto tende a -\infty (fator grande negativo vezes fator que tende a 1>0). Conclusão intermediária para (b): o limite é -\infty.

Passo 5

Calculemos (c):
\lim_{x\to\infty}\left(x^{4}-100 x^{3}\right).
Fatorando x^{4}:
x^{4}-100x^{3}=x^{4}\Big(1-\frac{100}{x}\Big).
Analisando:
  • Para x\to\infty, x^{4}\to +\infty (potência par garante positividade).
  • \displaystyle 1-\frac{100}{x}\to 1.
    Logo o produto tende a +\infty. Conclusão intermediária para (c): o limite é +\infty.

Passo 6

Calculemos (d):
\lim_{x\to-\infty}\left(x^{4}+100 x^{3}\right).
Fatorando x^{4}:
x^{4}+100x^{3}=x^{4}\Big(1+\frac{100}{x}\Big).
Analisando para x\to-\infty:
  • x^{4}\to +\infty porque potência 4 é par e elimina o sinal de x.
  • \displaystyle 1+\frac{100}{x}\to 1.
    Portanto o produto tende a +\infty. Observação intuitiva: embora o termo 100x^{3} seja negativo para x negativo (pois x^{3} é negativo), ele é de ordem menor que x^{4} quando |x| é grande, então o termo de maior grau domina e força a tendência para +\infty.

Passo 7

Recapitulando de forma direta (sem demonstração adicional): aplicando a ideia do termo dominante (maior potência) e analisando sinais e paridade, obtemos os resultados listados abaixo.

Resposta

(a) \;+\infty
(b) \;-\infty
(c) \;+\infty
(d) \;+\infty

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