Calcule as seguintes tendências:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede que se calcule quatro limites (tendências) de funções polinomiais. As perguntas são:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Cada expressão é um polinômio: soma de potências de
com coeficientes (por exemplo , , etc.). - As direções do limite são para
(tendência para ) ou (tendência para ). - Não há restrição adicional (como pontos de descontinuidade): são polinômios definidos para todo
.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática, sem pular etapas): para polinômios a termo de maior grau domina o comportamento quando
fica muito grande. Mais precisamente, se
com
e
o maior expoente, então, ao fazer
ou
, o termo
cresce muito mais rápido que os outros termos; por isso o sinal e a paridade de
(par ou ímpar) determinam a tendência:
- Se
é par e então tanto para quanto para . - Se
é par e então nos dois sentidos. - Se
é ímpar então a tendência segue o sinal de : para o termo dominante tem sinal de ; para tem sinal oposto (porque troca de sinal quando é ímpar).
Ferramenta prática (método que vamos usar): fatorar o maior potência de
na expressão. Ao fazer isso aparece um fator
e um fator que tende a
(pois os termos com divisões por
vão a
). Exemplo genérico:
e então estudar o limite de cada fator quando
ou
.
Passo 3
Calculemos (a) passo a passo:
Fatorando a maior potência
:
Agora analisamos os dois fatores quando
:
-
porque positivo grande elevado à potência cresce para . -
porque quando .
Multiplicando o comportamento dos fatores, o produto tende a. Conclusão intermediária para (a): o limite é .
Passo 4
Calculemos (b) com a mesma técnica:
Fatorando
:
Analisando para
:
-
porque negativo com potência ímpar mantém sinal negativo e cresce em magnitude. -
porque (tende a vindo de valores negativos, mas o limite é ).
Portanto o produto tende a(fator grande negativo vezes fator que tende a ). Conclusão intermediária para (b): o limite é .
Passo 5
Calculemos (c):
Fatorando
:
Analisando:
- Para
, (potência par garante positividade). -
.
Logo o produto tende a. Conclusão intermediária para (c): o limite é .
Passo 6
Calculemos (d):
Fatorando
:
Analisando para
:
-
porque potência é par e elimina o sinal de . -
.
Portanto o produto tende a. Observação intuitiva: embora o termo seja negativo para negativo (pois é negativo), ele é de ordem menor que quando é grande, então o termo de maior grau domina e força a tendência para .
Passo 7
Recapitulando de forma direta (sem demonstração adicional): aplicando a ideia do termo dominante (maior potência) e analisando sinais e paridade, obtemos os resultados listados abaixo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)