Compare as funções \frac{1}{x} e \frac{1}{x^{2}} para valores positivos muito grandes e muito pequenos de x

Passo 1

O enunciado pede para comparar as funções \frac{1}{x} e \frac{1}{x^{2}} nos dois regimes seguintes: valores positivos muito grandes de x e valores positivos muito pequenos de x.
Informações dadas e contexto que vamos usar:
  • As duas funções estão definidas para x>0.
  • Queremos saber, em cada regime, qual é maior, como elas se comportam numericamente (tendem a 0 ou a +\infty) e qual delas muda mais rápido (ou seja, qual “domina” a outra).

Passo 2

Primeira observação útil (inequação simples que explica a comparação de forma elementar). Para x>1 temos
x^{2}>x,
porque multiplicar por x>1 aumenta o número. Como ambos os lados são positivos, ao tomar recíprocos a desigualdade inverte:
\frac{1}{x^{2}}<\frac{1}{x}\quad\text{para }x>1.
Isto já diz: para valores positivos de x maiores que 1 (ou seja, “muito grandes”), a função \frac{1}{x^{2}} é menor do que \frac{1}{x}. Exemplo numérico: para x=100,
\frac{1}{x}=\frac{1}{100}=0,01,\qquad \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{10000}=0,0001,
portanto \frac{1}{x^{2}} é muito menor.

Passo 3

Formalizando o comportamento quando x cresce sem limite (regime “muito grande”): calcular limites ajuda a ver o que acontece.
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
Ambas tendem a 0. Para saber qual tende mais rápido, veja a razão:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
Como a razão tende a 0, a função \frac{1}{x^{2}} é negligível em relação a \frac{1}{x} quando x\to+\infty: dizemos que \frac{1}{x^{2}} vai a 0 mais depressa que \frac{1}{x}.

Passo 4

Agora o caso de x positivo muito pequeno (isto é, x próximo de 0, x>0). Para 0<x<1 temos
x^{2}<x,
porque multiplicar por x com 0<x<1 diminui o número. Tomando recíprocos (os dois lados positivos) a desigualdade inverte:
\frac{1}{x^{2}}>\frac{1}{x}\quad\text{para }0<x<1.
Isto diz: para valores positivos muito pequenos de x, \frac{1}{x^{2}} é maior que \frac{1}{x}. Exemplo numérico: para x=0,01,
\frac{1}{x}=\frac{1}{0,01}=100,\qquad \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{0,0001}=10000,
portanto \frac{1}{x^{2}} é muito maior.

Passo 5

Formalizando com limites quando x tende a 0 pela direita:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.
Ambas divergem para +\infty. Para comparar qual diverge mais rápido, calcule a razão:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.
Como essa razão tende a +\infty, a função \frac{1}{x^{2}} cresce muito mais rápido do que \frac{1}{x} quando x\to0^{+}.

Passo 6

Observação adicional simples que unifica os casos: as duas funções são iguais em x=1,
\frac{1}{1}=\frac{1}{1^{2}}=1,
e para 0<x<1 vale \frac{1}{x^{2}}>\frac{1}{x}, enquanto para x>1 vale \frac{1}{x^{2}}<\frac{1}{x}. Isso resume a comparação para todos os x>0.

Resposta

Para x positivo muito grande ( x\to+\infty): \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x^{2}} tendem ambos a 0, mas \dfrac{1}{x^{2}} é muito menor (vai a 0 mais rápido), isto é \dfrac{1}{x^{2}}<\dfrac{1}{x} para x>1.
Para x positivo muito pequeno ( x\to0^{+}): ambas divergem para +\infty, mas \dfrac{1}{x^{2}} cresce muito mais rápido e é maior, isto é \dfrac{1}{x^{2}}>\dfrac{1}{x} para 0<x<1.

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