Compare as funções
e
para valores positivos muito grandes e muito pequenos de
Passo 1
O enunciado pede para comparar as funções
e
nos dois regimes seguintes: valores positivos muito grandes de
e valores positivos muito pequenos de
.
Informações dadas e contexto que vamos usar:
Informações dadas e contexto que vamos usar:
- As duas funções estão definidas para
. - Queremos saber, em cada regime, qual é maior, como elas se comportam numericamente (tendem a
ou a ) e qual delas muda mais rápido (ou seja, qual “domina” a outra).
Passo 2
Primeira observação útil (inequação simples que explica a comparação de forma elementar). Para
temos
porque multiplicar por
aumenta o número. Como ambos os lados são positivos, ao tomar recíprocos a desigualdade inverte:
Isto já diz: para valores positivos de
maiores que
(ou seja, “muito grandes”), a função
é menor do que
. Exemplo numérico: para
,
portanto
é muito menor.
Passo 3
Formalizando o comportamento quando
cresce sem limite (regime “muito grande”): calcular limites ajuda a ver o que acontece.
Ambas tendem a
. Para saber qual tende mais rápido, veja a razão:
Como a razão tende a
, a função
é negligível em relação a
quando
: dizemos que
vai a
mais depressa que
.
Passo 4
Agora o caso de
positivo muito pequeno (isto é,
próximo de
,
). Para
temos
porque multiplicar por
com
diminui o número. Tomando recíprocos (os dois lados positivos) a desigualdade inverte:
Isto diz: para valores positivos muito pequenos de
,
é maior que
. Exemplo numérico: para
,
portanto
é muito maior.
Passo 5
Formalizando com limites quando
tende a
pela direita:
Ambas divergem para
. Para comparar qual diverge mais rápido, calcule a razão:
Como essa razão tende a
, a função
cresce muito mais rápido do que
quando
.
Passo 6
Observação adicional simples que unifica os casos: as duas funções são iguais em
,
e para
vale
, enquanto para
vale
. Isso resume a comparação para todos os
.
Resposta
Para
positivo muito grande (
):
e
tendem ambos a
, mas
é muito menor (vai a
mais rápido), isto é
para
.
Para positivo muito pequeno (
): ambas divergem para
, mas
cresce muito mais rápido e é maior, isto é
para
.
Para