Calcule as seguintes transformadas:
(iii) L[e^-3 t sen 4 t]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de e^-3t,sin(4t). O conteúdo aqui é transformada de Laplace e a aplicação do teorema do deslocamento no domínio de s. Vamos precisar da definição de transformada de Laplace e da fórmula padrão para integral0^infty e^-a tsin(b t),dt.

Passo 2

Escrevemos a integral que define a transformada de Laplace:
Le^-3tsin(4t)=integral0^infty e^-st,e^-3tsin(4t),dt =integral0^infty e^-(s+3)tsin(4t),dt

Passo 3

Usamos a fórmula conhecida
integral0^infty e^-a tsin(b t),dt=ba^2+b^2,
onde aqui a=s+3 e b=4. Substituindo, obtemos
Le^-3tsin(4t)=4(s+3)^2+4^2=4(s+3)^2+16

Passo 4

Portanto, a transformada de Laplace fica expressa em função de s pelo teorema do deslocamento.

Resposta

4(s+3)^2+16

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