Calcule as seguintes transformadas:
(v) L[t^3 e^-5 t]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de L[t^3 e^-5t], que é a transformada de Laplace de uma função do tipo polinômio vezes exponencial. O conteúdo principal aqui é a transformada de Laplace e, em particular, a propriedade de deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar a transformada de Laplace de uma potência de t: para n natural,
L[t^n] = integral0^infty t^n e^-st,dt = n!s^,n+1
No nosso caso, n=3, então
L[t^3] = 3!s^4 = 6s^4

Passo 3

Em seguida, usamos a propriedade de deslocamento no domínio de s: se L[f(t)] = F(s), então
L[e^-a tf(t)] = F(s+a)

Passo 4

Aplicando com a=5 e f(t)=t^3, obtemos
L[t^3 e^-5t] = 6(s+5)^4

Resposta

6(s+5)^4

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