Calcule a soma da série.
sumn=1^infty(-5)^n-1 4^-n

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita sumn=1^infty(-5)^n-14^-n, que é uma série geométrica. Vamos usar a teoria de séries geométricas: conhecendo o primeiro termo e a razão, aplicamos o teste de convergência e, se convergir, a fórmula da soma.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral da série:
(-5)^n-14^-n = 4^-1l((-5)4^-1r)^n-1 = 14l(-54r)^n-1

Passo 3

Daqui vemos que é uma série geométrica com primeiro termo a=tfrac14 e razão r=-tfrac54.

Passo 4

Para que uma série geométrica infinita sumn=1^infty a,r^n-1 converja, é necessário que |r|<1. Aqui temos
|r|=l| -tfrac54r|=tfrac54>1

Passo 5

Como |r|>1, a série não satisfaz o critério de convergência e, portanto, diverge.

Resposta

A série diverge e não possui soma finita.

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