Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
r(t)=(cos t, sin t, t);

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada r(t) = (cos t, sin t, t). O objetivo é calcular a velocidade da curva, que em geometria diferencial é definida como a norma do vetor velocidade r'(t).

Passo 2

Começamos derivando cada componente de r(t): a derivada de cos t é -sin t, de sin t é cos t e de t é 1. Assim, temos
r'(t) = (-sin t, cos t, 1)
Agora, a velocidade é a norma de r'(t), ou seja,
|r'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 = raiz2
Aqui usamos a identidade trigonométrica sin^2 t + cos^2 t = 1, o que mostra que a velocidade é constante.

Resposta

A velocidade da curva é constante e igual a raiz2.

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