Calcule as seguintes transformadas:
(iv) L[e^-3 t cos 2 t]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da função $ e^{-3 t} \cos 2 t $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicá-las em funções que envolvem exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo $ t $ em uma função de uma variável complexa $ s $. Isso é muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas.

Passo 3

Existe uma fórmula específica para a transformada de Laplace de funções da forma $ e^{a t} \cos(b t) $. A fórmula é:
e^a t cos(b t)
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes, e $ s $ é a variável da transformada.

Passo 4

No nosso caso, a função que queremos transformar é $ e^{-3 t} \cos(2 t) $. Comparando com a fórmula, temos:
e^-3 t cos(2 t)
Substituindo esses valores na fórmula, fica:
a = -3 e b = 2

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
s + 3(s + 3)^2 + 4
Então, a transformada de Laplace da função dada é:

Resposta

L[e^-3 t cos(2 t)] = s + 3(s + 3)^2 + 4

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