Calcule as seguintes transformadas:
(xi) L[t e^3 t sen 4 t]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de t e^3tsin(4t). O conteúdo envolve duas coisas: a transformada de e^3tsin(4t) e a propriedade Lt f(t) = -ddsF(s), onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

Primeiro vamos achar F(s)=Le^3tsin(4t). Usando a fórmula padrão para exponencial multiplicando seno, temos:
F(s)=4(s-3)^2+4^2=4(s-3)^2+16

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de diferenciação:
Lt f(t) = -ddsF(s)
Aqui f(t)=e^3tsin(4t), então a transformada que queremos é
Lt e^3tsin(4t) = -ddsl(4(s-3)^2+16r)

Passo 4

Basta derivar em relação a s:
ddsl(4(s-3)^2+16r) =4cdot(-1)cdot2(s-3)l((s-3)^2+16r)^2 =-8(s-3)l((s-3)^2+16r)^2
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Lt e^3tsin(4t) =-l(-8(s-3)((s-3)^2+16)^2r) =8(s-3)l((s-3)^2+16r)^2

Resposta

8,(s-3)l((s-3)^2+16r)^2

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