Considere o sistema lx1^prime=5 x1-4 x2, x2^prime=4 x1-5 x2
Encontre a solução geral

Passo 1

Temos o sistema x'=Ax, onde
A=5 & -44 & -5
Pra resolver, vamos usar a teoria de sistemas lineares autonômos: precisamos achar autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=det5-lambda & -44 & -5-lambda=(5-lambda)(-5-lambda)-(-4)cdot4=lambda^2-9
Igualando a zero vem
lambda^2-9=0implieslambda=3oulambda=-3

Passo 3

Para lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0:
A-3I=2 & -44 & -8
Da primeira linha 2v1-4v2=0 v1=2v2. Escolhendo v2=1, um autovetor é
v^(1)=21

Passo 4

Para lambda=-3, resolvemos (A+3I)v=0:
A+3I=8 & -44 & -2
Da primeira linha 8v1-4v2=0 vem v2=2v1. Escolhendo v1=1, um autovetor é
v^(2)=12

Passo 5

Como solução geral de x'=Ax é combinação linear das soluções elementares, temos
x(t)=C1,v^(1)e^3t+C2,v^(2)e^-3t

Resposta

\(x_1(t),x_2(t))T=C_1\begin{pmatrix}2\1\end{pmatrix}e{3t}+C_2\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix}e^{-3t}

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