Calcule as seguintes transformadas de Laplace
mathscrLt sen(t) cos (2 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de tsin(t)cos(2t). Vamos usar conteúdo de identidade produto–soma para reescrever o produto de funções trigonométricas e a propriedade da derivada em relação a s para lidar com o fator t.

Passo 2

Usando a identidade produto–soma: sin Acos B = tfrac12[sin(A+B)+sin(A-B)]. Aplicando com A=t e B=2t temos:
sin(t)cos(2t) = 12l[sin(3t)+sin(-t)r] = 12l[sin(3t)-sin(t)r]

Passo 3

Logo tsin(t)cos(2t)=tfrac12t[sin(3t)-sin(t)]. Pela propriedade mathscrLt f(t)=-ddsF(s), onde F(s)=mathscrLf(t).

Passo 4

Sabemos que mathscrLsin(at)=as^2+a^2. Então:
  • Para f(t)=sin(3t), F1(s)=tfrac3s^2+9 e
mathscrLtsin(3t)=-ddsl(3s^2+9r)=6s(s^2+9)^2
- Para f(t)=sin(t), F2(s)=tfrac1s^2+1 e
mathscrLtsin(t)=-ddsl(1s^2+1r)=2s(s^2+1)^2

Passo 5

Agora, combinando e respeitando o fator tfrac12:
mathscrLtsin(t)cos(2t) =12l(6s(s^2+9)^2-2s(s^2+1)^2r) =3s(s^2+9)^2-s(s^2+1)^2

Resposta

(3s)/(,(s2+9)2) - (s)/(,(s2+1)2)

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